高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明问题课时跟踪检测理

一保高考，全练题型做到高考达标

x2y2

1．如图所示，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交

ab椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，证明：点M(1,0)在以PQ为直径的圆上．

解：(1)因为点A，B都在椭圆上，所以根据椭圆的定义有|AF1|＋|AF2|＝2a且|BF1|＋|BF2|＝2a，

又因为△ABF2的周长为8，

所以|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，所以a＝2. 因为椭圆是关于x，y轴，原点对称的，

所以△AF1F2为正三角形，当且仅当A为椭圆的短轴端点，则a＝2c⇒c＝1，b＝a－c＝3，

故椭圆E的方程为＋＝1.

43

(2)证明：由题意得，动直线l为椭圆的切线， 故不妨设切点P(x0，y0)，

因为直线l的斜率存在且为k，所以y0≠0， 则直线l：y＝k(x－x0)＋y0，

2

2

2

x2y2

y＝kx－x0＋y0，22

联立方程组xy＋＝143

2

2

消去y，

得3x＋4[k(x－x0)＋y0]－12＝0， 3x0

由Δ＝0⇒k＝－.

4y0则直线l的方程为

x0xy0y4＋3

＝1，

1

31－x0，

联立直线l与直线x＝4得到点Q4，

y0



31－x0＝－3(1－x)＋3(1－x)＝0， 则PM·QM＝(1－x0)(1－4)＋(－y0)－00

y0

所以PM⊥QM，即点M在以PQ为直径的圆上．

x2y2a2

2．设椭圆M：2＋＝1(a＞2)的右焦点为F1，直线l：x＝2与x轴交于点A，

a2a－2

若OF1＝2F1A (其中O为坐标原点)．

(1)求椭圆M的方程；

(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x＋(y－2)＝1的任意一条直径(E，F为直

2

2

径的两个端点)，求PE·PF的最大值．

a，0

解：由题意知，点A2，F1(a2－2，0)，

a－2

2

a22

由OF1＝2F1A，得a－2＝22－a－2，

a－2

2

解得a＝6.

所以椭圆M的方程为＋＝1.

62

2

x2y2

2

(2)设圆N：x＋(y－2)＝1的圆心为点N，则点N的坐标为(0,2)，则PE·PF＝(NE―→

22－NP)·(NF－NP)＝(－NF－NP)·(NF－NP)＝NP－NPF2＝NP－1，

2从而求PE·PF最大值转化为求NP的最大值．因为P是椭圆M上的任意一点，设

2

P(x0，y0)，

所以＋＝1，

62即x0＝6－3y0.

因为点N的坐标为(0,2)，

2

2

x2y200

22

222所以NP＝|NP|＝x0＋(y0－2)＝－2(y0＋1)＋12.

因为点P(x0，y0)在椭圆M上， 则y0∈[－2，2]，

2所以当y0＝－1时，NP取得最大值12，

所以PE·PF的最大值为11.

3．(2016·无锡期末)已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e＝(1)求椭圆的方程；

2

6

，且过点P(1,1)． 3

(2)若点A(x0，y0)为圆x＋y＝1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB(O为坐标原点)．

22

x2y2

解：(1)由题意可设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)．

abc6c22

由题意得＝，则2＝. a3a3

又a＝b＋c， 所以a＝3b.

因为P(1,1)在椭圆上， 11

所以2＋2＝1，

2

2

2

2

2

ab422

解得a＝4，b＝.

3

所以椭圆的方程为＋＝1.

44

(2)证明：由题意得切线方程为xx0＋yy0＝1. ①若y0＝0，则切线方程为x＝1或x＝－1，

所以B(1,1)，C(1，－1)或B(－1,1)，C(－1，－1)， 所以CO⊥OB；

②当y0≠0时，切线方程为xx0＋yy0＝1，与椭圆方程联立并化简得(3x0＋y0)x－6x0x＋3－4y0＝0.

设B(x1，y1)，C(x2，y2)．

6x03－4y0

则x1＋x2＝22，x1x2＝22，

3x0＋y03x0＋y0

2

2

2

2

2

x23y2

x01x0x1x2＋y1y2＝1＋2x1x2－2(x1＋x2)＋2 y0y0y0

6x01x03－4y0x0

＝1＋222－2·22＋2 y03x0＋y0y03x0＋y0y0

4y0－4y0－4y0x04y01－y0－4y0x0＝＝0， 222＝2243x0＋y0y03x0y0＋y0所以CO⊥OB. 综上所述，CO⊥OB.

2

4

22

2

2

22

2

2

2

x2y2

4．(2016·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b≥1)的离

ab心率e＝3

，且椭圆C上一点N到Q(0,3)距离的最大值为4，过点M(3,0)的直线交椭圆C2

于点A，B.

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P为椭圆上一点，且满足OA＋OB＝tOP (O为坐标原点)，当|AB|＜3时，

求实数t的取值范围．

解：(1)∵e2

＝c2a2－b2322

a2＝a2＝4

，∴a＝4b，

则椭圆方程为x2y24bb1，即x2＋4y2＝4b2

2＋2＝.

设N(x，y)，则

|NQ|＝x－02＋y－32 ＝4b2

－4y2

＋y－32

＝－3y2－6y＋4b2＋9 ＝－3y＋12

＋4b2

＋12.

当y＝－1时，|NQ|有最大值4b2＋12，则4b2＋12＝4， 解得b2

＝1， ∴a2

＝4，

故椭圆C的方程是x2

2

4

＋y＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 直线AB的方程为y＝k(x－3)，

y＝kx－3由，x2＋y2

＝1，

4

整理得(1＋4k2

)x2

－24k2x＋36k2

－4＝0. 2

则xx24k1＋2＝1＋4k2，

2

xx36k－412＝1＋4k2，

Δ＝(－24k2)2

－16(9k2

－1)(1＋4k2

)＞0， 解得k2

＜15

.

由题意得OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，

则x＝1

(x24k2

t1＋x2)＝

t1＋4k2

，

y＝1t(y1－6k1＋y2)＝t[k(x1＋x2)－6k]＝t1＋4k2

. 4

24k144k由点P在椭圆上，得2＋＝4，

t1＋4k22t21＋4k22化简得36k＝t(1＋4k)．① 由|AB|＝1＋k|x1－x2|＜3，

得(1＋k)[(x1＋x2)－4x1x2]＜3，将x1＋x2，x1x2代入得 424k22－436k－

(1＋k)2＜3，

1＋4k1＋4k

2

24

2

2

22

2

2

2

222

化简得(8k－1)(16k＋13)＞0， 122

则8k－1＞0，即k＞，

8121∴＜k＜.② 85

36k9由①得t＝＝9－22，

1＋4k1＋4k2

2

22

由②得3＜t＜4，

∴－2＜t＜－3或3＜t＜2.

故实数t的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校

2

x2y2a2

如图所示，设F(－c,0)是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x＝－与x轴交

abc于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B. ①证明：∠AFM＝∠BFN； ②求△ABF面积的最大值． 解：(1)∵|MN|＝8， ∴a＝4，

又∵|PM|＝2|MF|， 1

∴e＝. 2

∴c＝2，b＝a－c＝12.

2

2

2

5

∴椭圆的标准方程为x2y2

16＋12

＝1.

(2)①证明：当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0，满足题意； 当AB的斜率不为0时， 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

AB的方程为x＝my－8，

代入椭圆方程整理得(3m2

＋4)y2

－48my＋144＝0. Δ＝576(m2

－4)＞0， 得m2

＞4，

y48mA＋yB＝3m2

＋4

， y144

AyB＝

3m2＋4

. 则kyAyByAyBAF＋kBF＝x＋＝＋my A＋2xB＋2myA－6B－6

＝yAmyB－6＋yBmyA－6

my

A－6myB－6

＝

2myAyB－6yA＋yB

my，

A－6myB－6

而2myy14448mAyB－6(yA＋B)＝2m·3m2＋4－6·3m2＋4＝0，

∴kAF＋kBF＝0， ∴∠AFM＝∠BFN. 综上可知，∠AFM＝∠BFN.

②S1

△ABF＝S△BFP－S△AFP＝2|PF|·|yB－yA|

2

＝72m－43m2＋4

， 2

即S72m－4

△ABF＝3m2

－4＋16 ＝

72

3m2－4＋16

m2－4

≤

72

23×16

＝33，

当且仅当3m2－4＝

16

m2－4

，

6

221

即m＝±时(此时适合于Δ＞0的条件)取到等号．

3∴△ABF面积的最大值是33.

7