振荡函数积分的数值计算[文献综述]

信息与计算科学

振荡函数积分的数值计算

一、前言部分

科学计算作为当今科学研究的三种手段之一，是数学将触角伸向其他科学的桥梁。在科学应用领域，如电磁学、非线性学、流体动力学、等离子体运输、天体动力学、地质勘探等，都常常要计算含有振荡函数的积分。振荡函数有时并非光滑，甚至并不连续，为了研究这一类特殊函数，我们必须考虑一些相应的数值求解振荡函数积分的方法，比如可考虑转化为两零点间的积分，Filon算法等。而这些方法的基础为常用的数值积分公式，比如梯形公式及其复合公式，抛物线公式及其复合公式，Guass求积公式等等。随着计算机的迅速发展，在科学、技术、工程、生产、医学、经济和人文等领域中抽象出来的许多数学问题可以用计算机计算、求解[1]。可借用软件如Matlab或C对其中一些方法进行编程实现。能够将理论与实践联系起来，形成一个由“实践—理论—实践”的良性循环。

二、主题部分

2.1数值积分[2]

积分运算是微积分学的一个重要的分支。在加速度已知的情况下，积分运算用来求它的速度；或者通过速度求出位移，计算图形面积，预测人口增长等其他许多重要的应用。在微积分课程中已经学过许多求函数f(x)的不定积分的方法。（给定函数f(x)，它的不定积分是满足条件Fxfx的函数Fx。）在实际计算中常常遇到求定积分的问题，根据积

'分学的基本定理，只要求出原函数便可求出定积分的值。也学过定积分的计算方法：牛顿-莱布尼兹公式 Fxfx，可以利用不定积分计算定积分的值。然而有些被积函数的

'不定积分无法用普通的函数表示，求原函数往往是困难的，有时甚至是不可能的。当被积函数的不定积分未知时，我们就用到了数值积分方法。所以我们要讨论数值积分方法，即用数值方法求积分的近似值。

2.1.1 Newton-Cotes求积公式[34]

设a,b为有限或无穷区间，用被积函数f(x)的以ax0x1x2...xnb为节点的n次Lagrange插值多项式及其余项代替被积函数f(x)，当求积节点为等距节点

Qnfwkfk， （2.1）

nk0nlkxdx，k0,1,...,n Qnf称为数值积分公式，其中求积系数wknablkx 为 n次插值基函数，x1,x2,...xn称为求积积点。

非周期函数的积分，一般使用Newton-Cotes法或龙贝格法。 设[a,b]为有限区间，步长h求积公式。

梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数。即当Newton-Cotes求积公式中n=1时，得

ba，则相应的公式（2.1）便称为n阶Newton-Cotes型nQ1f称为梯形公式。

bafafb， 2我们可以使逼近函数的效果更好如果用二次或三次插值多项式。辛普森公式建立的基础就是这种逼近。即Newton-Cotes求积公式中当n=2时，得

Q2fbaab， fa4ffb62称为抛物线公式，也叫Simpson公式。 2.1.2复合求积公式[5]

应用高阶的Newton-Cotes型求积公式计算积分会出现数值不稳定，低阶公式(如梯形和抛物线公式)又往往因积分区间步长过大使得离散误差大。然而，若积分区间愈小，则离散误差小。因此，为了提高求积公式的精确度，又使算法简单易行，往往使用复化方法。即把积分区间分成若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来，这种公式称为复合求积公式。复合求积公式是一种典型的求积方法，通过低阶的求积公式构造出收敛性极好的求积方法，主要有复合梯形公式和复合Simpson公式。

记hba/m，xkakh，k0,1,...,m。在每个小区间xk,xk1上使用梯形求积公式，便得到复合梯形求积公式：

m1hff0fm2fk

2k1Q1m如将[a,b]区间2m等分，记hba/2m，xkakh，k0,1,...,2m，在每个小区间x2i,x2i2上使用抛物线求积公式，则得复合抛物线公式：

m1m1hff04f2i12f2if2m

3i0i1Q22m2.1.3龙贝格积分公式[6]

利用类似于理查德外推的技巧提高复化梯形求积公式的精度。这种方法就是众所周知的龙贝格积分。我们可以利用龙贝格法求一个结点均匀分布的表格函数的积分，但是现在我们不能使h变小。龙贝格方法可用于很多种类的函数。对光滑性和连续性没有要求。然而，当

fx不连续时，我们应该把均匀分布的点落在间断点上。这个可以完成如果我们根据间断

点把区间分成几个子区间。利用步长折半的方法推导出梯形公式的递推式，外推加速技术是一种简单有效的方法，在复合梯形公式递推化的基础上，可以通过外推加速，得到较高精度Romberg算法。

对于fx不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时可以直接使用复化辛普森公式计算[7]。龙贝格积分法精度比Newton-Cotes法高，收敛速度快，编程容易实现，使用面向对象程序设计方法，回避了函数指针的使用，降低了编程调试的难度。工程上一般首选龙贝格法。

2.1.4Gauss型求积公式[8]

若a,b区间上一组节点使得相应求积公式（2.1）具有2n+1次代数精度，则称此点组为高斯点组，相应的求积公式（2.1）为高斯型求积公式。高斯点组可直接通过求解相应方

程组得到，也可借助正交多项式的零点来确定。我们前面讨论的数值积分公式都是事先给定均匀分布x值的；这就意味着x值被事先确定了。对于一个三项的公式，存在三个自由参数，即对应函数值的系数(加权因子)。一个有三个参数的公式可以确定一个二次多项式，比参数的个数少一个。高斯发现如果我们改变求解函数值的任务没有事先确定x值的话，那么三项积分公式中将含有六个参数(这三个x值现在是未知的，把三个权相加)并且相当于一个五次插值多项式。以这个原则为基础的公式称作高斯积分公式。它们只能应用于fx表达式已知的情况下，从而可以求出任意需要x点的函数值。高斯积分公式效率高的原因是它只需要两个函数值的加权和。

Gauss型求积公式是具有最高代数精确度的插值求积公式，对于不同的权函数，便有不同的直交多项式，从而得到不同的具体Gauss型求积公式。 （一） Guass-Legendre公式

fxdxwfx

n1kkk01n在物理和力学中常常遇到一些带有权函数的广义积分。对于这些积分使用其他求积公式会遇到困难，而针对权函数和积分区间，选择适当的节点构造代数精确度最高的Gauss型求积公式进行计算，通常是最有效的。 （二） Guass-Laguerre公式

0efxdxwkfxk

xnk0n2.2振荡函数积分的数值计算

在科学与工程计算中，经常要求计算积分 ItfxKx,tdx，ab （2.2）

ab其中Kx,t是一个“振荡核”，即为关于x的振荡函数。而f为非振荡函数。傅里叶积分

bafxsinnxdx，fxcosnxdx

ab为典型例子。当n较大时就是振荡函数积分。

振荡函数积分，在应用数学、物理学、工程计算等方面有着广泛的应用。众所周知，n

越大，被积函数sinnxfx，cosnxfx就振荡得越厉害，也就是说，函数与x轴的交点就越多。在对振荡函数积分进行数值计算时，如何克服振荡所带来的误差，成为解决这一问题的关键。

目前，对振荡函数数值积分公式进行的研究已取得一些成果。对这一问题的解决最早要归功于Fillon，其后在此基础上出现了很多解决这一问题的方法。比如我国著名数学家徐利治先生提出了渐进展开的徐氏公式。另外还有Lobatto法和Price法等，但它们都或多或少存在一些弊端，有的方法需要计算大量的一阶或高阶导数，这样会使得问题更加复杂化，而且高阶导数的计算会降低最终结果的精度；另外，有的需要大量复杂的计算，这就使得算法的时间效率和空间效率有所降低[8]。因此在实际应用中，对于被积函数含有振荡的积分以及广义积分的计算中，需对被积函数作适当的处理再进行近似计算，才能提高计算结果的精度。

2.2.1在零点之间积分[9]

设被积函数振荡部分在a,b上的零点为ax1x2...xpb，那么将a,b上的积分分解为子区间xk,xk1上积分之和。在每个子区间上，因被积函数在端点之值为零，所以可以采用高斯-洛巴托求积公式，这样可以不必增加计算量就可以得到较高的精度。 2.2.2菲隆方法

设（2.2）中f可以表示为

nfxakkxx， xa,b，

k1其中x是a,b上的小量(当然为x的函数)。令 ktxKx,tdx k1,2,...n

akb可以用初等积分显示表示出来。Filon方法就是用fx的近似求出积分（2.2），通常是用

fx的抛物线插值函数近似，也可用三次样条插值近似[10]。

2.2.3Hermite数值积分公式[11]

在工程技术问题中，常会遇到振荡函数的积分

fxsinxdx，通常的插值型求

11积公式往往是失效的。由于sinx在[-1,1]上符号有正负，故不能作权函数处理。根据插值多项式的数值积分的一些结论，导出n+1个节点的振荡函数的Hermite插值求积公式，它的权因子分成两部分，一部分依赖于节点，另一部分于节点的新型的求积公式，并利用正交多项式的性质，给出其递推关系式及误差分析。 2.2.4几类特殊振荡函数的数值积分方法归纳

在物理学和工程学中，经常遇到型如

fxsinxdx（为正整数）振荡函数的

11数值积分问题。由于sinx在，上的符号有正有负，同样一般不能简单地作为权函数，而用高斯法来计算这种类型积分。目前，常用的方法已有多种，如Filon法，Lobatto等。但使用这种些方法想得到较精确的近似值需要较大的计算量[12]。

另外，还有一类计算振荡函数积分公式，优于新的对振荡函数的Gauss型积分，具有函数振荡越剧烈，求积结果越容易达到精确的特点。在有关函数充分光滑的情况下，可以有很高的求积精度与效率[1314]。

形如I1f函数频率越大，

220fxcosmxdx，其中fx是非振荡函数，m越大，cosmx的振荡

0fxcosmx与x轴的交点就越多。由于高次插值多项式的严重缺陷，

使得积分精度得不到保证，而运用复化Newton-Cotes公式效果也不是很理想，而运用样条函数处理此类积分则能大大提高代数精确度。

在工程物理问题中，

fxcosmxadx，其中fx是光滑函数，变化不厉害。

ab常数m较大，从而使被积函数fxcosmxa振荡很激烈。无论是Guass型求积法，还是Romberg方法，自适应方法，都需要计算大量的函数值才能使数值结果达到给定的误差要求。此时，利用fx的三次插值样条函数逼近来建立有效的数值方法

[15]

。

三、总结部分

本文大致阐述了一些数值积分的基本思想和原理，并深入认识数值积分法的意义，明确代数精度的概念，以及数值积分精度与步长的关系；同时介绍了几种基本的常用积分公式，如牛顿-科茨求积公式、复合求积公式、龙贝格积分方法、高斯求积方法等。列出它们各自的优缺点及适用范围，并能用来解决一些实际问题。众所周知，振荡函数的数值积分是数值积分的一个难点。同时目前对求振荡函数数值积分的方法研究也有了一些成果，相比以前的方法具有简便易行、计算量小而求积精度高等特点。现代计算机的出现为大规模的数值计算提供了条件，集中而系统地研究适用于计算机的数值方法变得十分迫切和必要。

四、参考文献

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