2023 鹏程杯数学初赛和复赛题

1. 题目一：已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c 满足 f(1) = 4, f(2) = 10, f(3) = 18，求 a, b, c 的值。

2. 题目二：在直角三角形 ABC 中，AB = 6, AC = 8，角 B 的对边为 b，角 C 的对边为 c，求 b 和 c 的值。

3. 题目三：已知等差数列 a1, a2, a3, …, an 的前 n 项和 Sn = 2n^2 + 3n，求 a1 和 d 的值。

4. 题目四：已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A ∪ B 和 A ∩ B。

5. 题目五：设 A 是一个 n x n 的矩阵，满足 A^2 - 3A + 2I = 0，其中 I 表示 n 阶单位矩阵，求 A 的特征值。

第二部分：2023 鹏程杯数学复赛题

1. 题目一：证明二项式定理：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + … + C(n, n)b^n。

2. 题目二：已知函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求 f(x) 在区间 [0, 2π] 上

的最大值和最小值。

3. 题目三：在平面直角坐标系中，已知点 A(3, 4)，B(7, 9)，C(15, 8)，求三角形 ABC 的面积。

4. 题目四：已知数列 {an} 满足 an = 2^(n-1) + 3^(n-1)，求 {an} 的通项公式。

5. 题目五：已知函数 f(x) = e^x - x - 2，求 f(x) 的极值点。 结尾：

以上是 2023 鹏程杯数学初赛和复赛的部分题目，这些题目涵盖了代数、几何、数列、集合和函数等数学知识点，要求考生在限定时间内完成。这些题目涉及的知识点广泛，难度适中，是对数学能力的全面考核。希望参加比赛的同学认真准备，取得优异的成绩。2019年鹏程杯数学竞赛初赛中，考察了代数、几何、数列、集合和函数等数学知识点，其中每一道题目都需要考生们充分发挥自己的数学思维和解决问题的能力。在初赛的答题过程中，考生们需要做到快速准确地分析问题、合理推理、熟练运用所学知识来解决问题。还需要学会规划自己的时间，确保在规定的时间内完成所有的题目。

接下来，我们将介绍一些初赛中的典型题目，并给出解题思路。

1. 题目一：已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c 满足 f(1) = 4, f(2) = 10, f(3) = 18，求 a, b, c 的值。

解题思路：我们可以利用已知条件列出方程组：

a + b + c = 4 4a + 2b + c = 10 9a + 3b + c = 18

通过解方程组，可以求出 a, b, c 的值。首先可以使用第一条式子减去第二个式子，得到 3a + b = 6。再通过第二个式子减去第三个式子，得到 5a + b = 8。解得 a = 2，b = 0。将 a, b 的值代入第一个式子，得到 c = 2。a = 2，b = 0，c = 2。

2. 题目二：在直角三角形 ABC 中，AB = 6, AC = 8，角 B 的对边为 b，角 C 的对边为 c，求 b 和 c 的值。

解题思路：根据勾股定理，我们有 b^2 + c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + = 100。b^2 + c^2 = 100。又因为直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。因此 b^2 + c^2 = AC^2。b = 6，c = 8。

3. 题目三：已知等差数列 a1, a2, a3, …, an 的前 n 项和 Sn = 2n^2

+ 3n，求 a1 和 d 的值。

解题思路：等差数列的前 n 项和公式为 Sn = n(a1 + an)/2。已知 Sn = 2n^2 + 3n，代入等差数列前 n 项和公式可以得到 a1 + an = 4n + 6。又因为等差数列的前 n 项和公式可以表示为 Sn = n(a1 + a1 + (n-1)d)/2，代入已知条件可以得到 2n^2 + 3n = n(2a1 + (n-1)d)。通过整理方程，我们可以求得 a1 和 d 的值。

4. 题目四：已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A ∪ B 和 A ∩ B。

解题思路：A ∪ B 表示集合 A 和集合 B 的并集，在集合 A 和 B 中所有的元素合并在一起，去重得到 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。A ∩ B 表示集合 A 和集合 B 的交集，即在集合 A 和 B 有的元素，所以 A ∩ B = {3, 4, 5}。

5. 题目五：设 A 是一个 n x n 的矩阵，满足 A^2 - 3A + 2I = 0，其中 I 表示 n 阶单位矩阵，求 A 的特征值。

解题思路：我们知道，如果 A 是矩阵的特征多项式的根，那么 A 就是矩阵的特征值。根据题目条件得到 A^2 - 3A + 2I = 0，我们可以根据这个方程得到 A^2 = 3A - 2I。再将 A^2 代入矩阵的特征多项式，可以求得 A 的特征值。

以上是初赛的内容，接下来我们来看看2023年鹏程杯数学竞赛复赛的题目。

2023年鹏程杯数学复赛共设有五道题目，每一道题目都考察了数学知识的深度和广度，涵盖了代数、函数、几何、数列等多个领域。下面我们将逐一介绍复赛的题目及解题思路。

1. 题目一：证明二项式定理：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + … + C(n, n)b^n。

解题思路：要证明二项式定理，可以使用数学归纳法。首先验证 n = 1 时定理成立，然后假设 n = k 时定理成立，即 (a + b)^k = C(k, 0)a^k + C(k, 1)a^(k-1)b + … + C(k, k)b^k。接下来证明 n = k + 1 时定理也成立，即 (a + b)^(k+1) = (a + b)(a + b)^k。在这道题目中，考生需要熟练掌握数学归纳法的运用，进行严谨的证明。

2. 题目二：已知函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求 f(x) 在区间 [0, 2π] 上的最大值和最小值。

解题思路：首先求出 f'(x)，然后通过对 f'(x) = 0 求解，找到 f(x) 的临界点，再结合边界点求出最大值和最小值。

3. 题目三：在平面直角坐标系中，已知点 A(3, 4)，B(7, 9)，C(15, 8)，求三角形 ABC 的面积。

解题思路：可以利用向量的知识来求解三角形 ABC 的面积，根据向量的叉乘可以得到三角形的面积。

4. 题目四：已知数列 {an} 满足 an = 2^(n-1) + 3^(n-1)，求 {an} 的通项公式。

解题思路：考生可以利用数学归纳法或者巧妙的算法进行推导，找出数列 {an} 的通项公式，从而快速求得任意项的值。

5. 题目五：已知函数 f(x) = e^x - x - 2，求 f(x) 的极值点。

解题思路：首先求出 f'(x)，然后通过对 f'(x) = 0 求解，找到 f(x) 的极值点。

通过以上的复赛题目及解题思路的介绍，我们可以看到，复赛的题目相较于初赛更加深入，需要考生们有更强的数学功底和逻辑推理能力。这些题目不仅考察了数学知识点的运用，还考察了解决问题的能力和数学思维的拓展。对于参加复赛的学生来说，需要在复习过程中注重知识的灵活运用和理论知识与实际问题的结合，培养自己的逻辑思维和解决问题的能力。

在复赛的答题过程中，考生们需要注重应用数学知识解决实际问题的能力，注重数学模型的建立和求解。还需要注重论证的严密性和数学语言的规范性。通过复赛的答题过程，可以帮生们更好地巩固自己的数学知识，提高自己的数学思维和解决问题的能力。

希望所有参加鹏程杯数学竞赛的同学们都能够充分准备，以饱满的精神和扎实的知识技能迎接挑战，在竞赛中取得优异的成绩。同时也希望鹏程杯数学竞赛越办越好，为更多的学生提供一个展示自我、锻炼自我的舞台。