五年级奥数第三讲-分解质因数

北外起航五年级春季班数学

第三讲 分解质因数

教学目标：

1.掌握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数。

2.灵活运用相关知识解答综合问题。

知识点拨：

1.质因数与分解质因数：

如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3，2、3都叫做12的质因数。

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2. 我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.

下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。

例如：把下列各完全平方数分解质因数：

9，36，144，1600，275625。

解：9=32 36=22×32 144=32×24

1600=26×52 275625=32××72

可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。

反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。

经典例题：

例1 ：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

解：∵210=2×3×5×7

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∴可知这三个数是5、6和7。

例2 ：长、宽均为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？

分析：面积为105,105是长与宽的乘积。可把105分解质因数，再写成两个自然数相乘的形式。

解：105=3×5×7=1×105=3×35=5×21=7×15

答: 面积为105的形状不同的长方形共有4种。

例3：在1×2×3×4×5×…×200的末尾连续有多少个零？

分析：2×5=10，在相乘的各个因数中，如果把它们分解质因数，产生一个2和一个5，末尾就会出现一个0，在这一串因数中，含有因数2的个数远多于含有因数5的个数。因此，只需求出乘积中有几个5的因数，就知有几个零。

解：200÷5=40（个）

200÷（5×5）=8（个）

200÷（5×5×5）=1（个）……75

40+8+1=49（个）

答：积的末尾有49个零。

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例4： 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。

分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

解：∵1080×a=23×33×5×a，

又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

巩固练习：

基础训练题:

1．有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？

2．张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？

3．五个相邻自然数的乘积是0，求这五个自然数.

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4. 有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？

5．一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？

6．老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。每支钢笔原价多少元？

7.有7个人都是四月出生的，并且都属猪，某年它们的岁数的乘积是17597125，这一年他们的岁数之和是多少？

8.一个非零整数a与7920的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少 ？

拓展提高题:

1. 写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120，这若干个自然数分别是多少？

2. 在1×2×3×4×5×…×100的末尾连续有多少个零？

3.要是25×26×27×28×29×30×□积的末五位都是0，□里填入的自然数最小是多少？

4. 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，

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这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。

这样14×15=210=5×6×7。

这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

5.小兰家的电话号码是七位数，它恰好是几位连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，小兰家的电话号码是多少？

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