三年级奥数整数的速算与巧算

知识框架

一、整数四则运算定律

(1) 加法交换律： a b b a 的等比数列求和

2) 3) 4)

加法结合律： (a b)

ca

(b c)

乘法交换律： a b 乘法结合律： (a b) 乘法分配律： a (b

ba ca c) a

(b c) b

a c； (b c) a b a c a

5) 6) 7) 8)

减法的性质： a b 除法的性质： a (b

ca c) a

(b c) b c；

除法的“左”分配律：

(a b) c a c b c；(a b) c a c b c ，这里尤其要注意，除法

是没有“右”分配律的 ，即 c (a b) c a c b 是不成立的！

备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、利用位值原理思想进行巧算

( 1) 位值原理的定义： 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身 的一个值外， 还有一个“位置值”。 例如“ 2”,写在个位上， 就表示 2 个一，写在百位上， 就表示 2个百， 这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

( 2) 位值原理的表达形式：

以六位数为例： abcdef a 100000 b 10000 c 1000 d 100 e 10 f 以具体数字为例： 3762 3 100000 8 10000 9 1000 7 100 6 10 2

三、提取公因数思想

1. 乘法运算中的提取公因数：

( 1) 乘法分配律： a (b c) a b a c 或 (b c) a b a c a

(2) 提取公因数即乘法分配律的逆用： a b a c a (b c) 或 b a c a (b c) a

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2. 除法运算中的提取公因数：

1) 除法的“左”分配律： 2) 除法的“左”提取公因数：

(a b) c a c b c ； (a b) c a c b c

a c b c (a b) c

例题精讲

一、位值原理

例 1】

计算： 123

223 423 523 723 823 ．

考点】位值原理 解析】

难度】

2星 (400 23)

【题型】计算

原式 (100

23) (200

23)

(500 23) (700 23 6 2700 138

23) (800

23)

(100 200 400

答案】

500 700 800) 2838

2838

巩固】 计 算： 853 253 1153 953 653 453

考点】位值原理 解析】 原 式 (8 2 答案】 4318

难度】

3星

【题型】计算

11 96 4) 100 53 6 40 100 50 6 3 6 4000

300 18 4318

例 2】 计算： (1234 2341 3412 4123) 5 考点】位值原理 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】 2008年，第 8 届，走美杯， 3年级，决赛，第 1题，8 分

解析】 原式中千位数的和除以 5为，(1 2 3 4) 5 2 ，同样百位、十位、个位都为 2 答案】 2222

，所以结果为 2222。

巩固】 计算： (9876+7967+6688+8799) 5 考点】 位值原理 解析】 答案】

【难度】 3 星 【题型】填空

(9876+7967+6688+8799) 5 (9 8

7 6) 1111 5 6666

6666

例 3】

计算： (123456 234561 345612

456123 561234 612345) 3

【题型】计算

考点】 位值原理

【难度】 3 星

解析】仔细观察我们可以发现 1、2、3、4、5、6 分别在个、十、百、千、万、十万

6 个数位上各出现

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过一次，所以

原式 [(1 2 3 4 5

6) 100000 (1

2 345

6) 10000 (1 2 3 4 5 6) 1000

(1

2 3 4 5 6) 100 (1

2 3

4 5 6) 10 (1 2 3 4 5 6)] 3

3 7 111111 777777 ．

[(1 2 3

答案】 777777

4 5 6) 111111] 3

21 111111

巩 固】 计 算： (1234567 2345671 3456712 4567123 5671234 6712345 7123456) 7 考点】位值原理 【难度】 3 星 【题型】计算

解析】括号内的 7个加数，都是由 1、2、3、4、5、6、7这 7个数字组成，换句话说，这 7个数的每一 位也分别是

1、2、 3、4、5、6、 7，它们的和是 28，即如果不进位，每一位的和都是

原式 (28 1000000 28 100000 28 10000 28 1000 28 100 28 10 28) 7

28．所以

28 1111111 7 1111111 (28 7) 4444444

答案】 4444444

例 4】 计算： (1234 2341

3412 4123)

【难度】 2 星

(1 2

3 4)

【题型】计算

考点】 位值原理 关键词】第五届，希望杯 解析】 答案】

原式 (1 2 3 4)

1111 (1 2 3

4) 1111．

1111

巩固】 计算： (1357 3571 考点】位值原理 解析】 原式 (1 3 5 7) 答案】

5713 7135) (

【难度】 2 星

13

5 7)

【题型】计算

1111 (1 3 5

7) 1111

1111

例 5】 计算： (123456 234561 345612 456123 561234 612345) 111111

考点】 位值原理 解析】 答案】

原 式 (1 2 3

【难度】 3 星 【题型】计算

4 5 6) 111111

111111 21

21

巩 固】 计 算： (15971 53353 37535 79717 91199) 55555 考点】位值原理 【难度】 3 星 【题型】计算

解析】原式 (15971 53353 37535 79717 91199) 55555 25 11111 55555 5 答案】 5

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、提取公因数

计

36 19 19

算：

考点】 四则混合运算之提取公因数 例 6】 解析】 答案】

原式

(36 ) 19 1900

【难度】 2 星

【题型】计算

1900

巩固】 计算： 36 19 144

解析】

原式

36 19 (19 125)

(36 ) 19

125

1900 8 8 125

1900 8000 9900

答案】

9900

计

例 7】 算：

31 5 32 5 33

5 34 5 ．

【难度】 1 星

【题型】计算

考点】 四则混合运算之提取公因数

关键词】第二届，希望杯，四年级，第二试 解析】 原式 (31 34)

32 33

5

130 5

26

答案】

26

巩固】 计算：

284 7 285 7 286 7 287 7 288 7 2 7 290 7

【题型】计算

考点】位值原理 【难度】 3 星 解析】原式=(284 285 286 287 答案】

288 2 290) 7 287 7 7 287

287

例 8】

2008 2006 2007 2005 2007

2006 2008 2005

【题型】计算

考点】 四则混合运算之提取公因数 关键词】 2007 年，希望杯， 1 试

解析】 原 式 2006 (2008 2007) 2005 (2008 2007)

【难度】 2星

2006 1 2005 1 1 答案】 1

巩固】计算 2000 1999 1999 1998 1998 1997 1997 1996 1996 1995 1995 1994 考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】 2 星 【题型】计算 解析】 题 目是六项乘积的和差运算 , 其中 , 每两项中都有公因数 , 于是 , 我们先分组简算

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原式 =1999 × (200-01998)+1997 × (199-81996)+1995 × (199-61994)

=1999 × 2+1997 × 2+1995 × 2 =2 × (1999+1997+1995) =2 × (2000+2000+200-90) =2 × (600-90) =2 × 600-20 × 9 =12000-18 =11982

答案】 11982

例 9】 35 20 70 35 78

难度】 2 星

题型】计算

考点】 四则混合运算之提取公因数 解析】 原 式 35 20 35 2 35 78 答案】 3500

35 (20 2 78) 35 100 3500

巩固】 计 算： 80 1995 3990 1995 考点】 四则混合运算之提取公因数

22

难度】 2 星

题型】计算

解析】 把 3990 分解为 1995 2 ，这样 80 1995 、 2 1995 、 22

乘法分配律进行巧算，原式

答案】 199500

1995 中都有相同的乘数 1995，可以利用 22 1995 (80 2 22) 199500

80 1995 2 1995 1995

例 10】 计算： 113 5 37 15 考点】四则混合运算之提取公因数

难度】 2 题型】计算

关键词】 2007 年，走美杯，初赛

解析】 根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变

”的道理，进行适当变换，再提

取公因数，进而凑整求和． 原式 113 5 37 3 5

113 5 111 5 (113 111) 5 10

答案】 10

巩 固】 计 算： 9966 6 6678 18

考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】 2 星 【题型】计算 解析】 原 式 3322 3 6 6678 18 (3322 6678)

18 180000

答案】 180000

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例

34965 35 2772 28

11】

考点】 四则混合运算之提取公因数 解析】 原式

【难度】

2星

【题型】计算

(35000 35) 35 (2800

28) 28

1000 1 100 1

900

答案】

900

巩固】 计算： 2772 28 34965 35

考点】 四则混合运算之提取公因数 解析】 原式 (2800 28) 28 (35000

【难度】

2星

【题型】计算

35)

35

100 1 1000 1

1098

答案】

1098

例 12】 计算：

9 17 91 17 5 17 45 17

考点】 四则混合运算之提取公因数 【难度】 2星 【题型】计算

解析】 分 配律的逆运算是个难点，建议教师先讲解铺垫中的题目

原式 9 17 5 17 91 17 45 17

(9 5) 17 (91 45) 17

4 17 136 17 68 8 76

答案】 76

巩固】 17 19 93 19 10 17 40 19

考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】 2 星 【题型】计算 解析】 看 到算式中既有乘法，又有除法，可以考虑讲乘法与除法分开，这时又可以运用乘法中的提取公 因数方法以及除法中的 (a b) c a c b c 的逆运用，简便运算．

原式 17 19 10 17 93 19 40 19 (19 10) 17 (93 40) 19

9 17 133 19 153 7 160

答案】 160

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随练 1】 12345 51234 考点】位值原理

45123

34512 23451

难度】 3 星 题型】计算

解析】因为每个数位上都出现了

原式 (1 2 3

答案】 166665

1、 2、

3、4、 5，

所以

4 5)

(10000 1000 100 10 1) 15 11111 166665

随练 2】 计 算： (567 675 756 567 95678) 7

课堂检测

关键词】 2004 年，陈省身杯

解 析】 观 察可知 5、 6、 8、 9 在万、千、百、十、个位各出现过一次，所以， 7、

5 11111 55555 ．

原式 (5 6 7 8 9) 11111 7

答案】

55555

考点】位值原理

随练 3】 251 4 (753 251) 2 考点】四则混合运算之提取公因数

难度】 3 星

题型】计算

。

【难度】 2星

【题型】计算

关键词】 2008 年，第 6 届，走美杯， 解析】 原 式 251 4 (251 3 251) 答案】 2008

4 年级， 决赛 2

251 4 251

4 251 8

2008 。

随练 4】 98 21 196 77 98

考点】四则混合运算之提取公因数 解析】 原式=98 21 98 2 77 98 答案】 9800

【难度】

2星

【题型】计算

98 (21 2 77) 9800

家庭作业

作业 1】 计 算： (945678 8567 7674 考点】位值原理

6745 56 494567) 111111

难度】 3 星 【题型】计算

解 析】 原 式 (4 5 6 7 8 9) 111111 111111 39

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答案】 39

作业 2】 计 算： (3537 5955 7793 9379) (3 5 7 9) 考点】位值原理

难度】 2 星 【题型】计算

关键词】第五届，希望杯

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解 析】 原 式 1111 (3 5 7 9) (3 5 7 9) 答案】 1111

作业 3】 计 算：

2005 2004 2004 2003 2003 2002 2002 2001

3 2 2 1=_

【题型】计算

考点】四则混合运算之提取公因数 关键词】 2005 年，第 3 届，走美杯， 解析】 由 原式得

【难度】

3星

5 年级，决赛

(2005-2003) × 2004+(2003-2001) × 2002+⋯

+(3-1) ×2

2× (2004+2002+2000+ ⋯+2)

2× 2× (1002+1001+1000+ ⋯ +1)

2010012。

答案】 2010012

作业 4】 8613 87 7722 78

考点】四则混合运算之提取公因数 解析】 原 式 (8700 87) 87 (7800

【难度】

2星

【题型】计算

78) 78

1000 1 (100 1) 900

答案】 900

作业 5】 计 算： 2012 24 502 96

考点】四则混合运算之提取公因数 关键词】 2007 年，走美杯，初赛

【难度】 2

【题型】计算

解析】 根 据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再 提取公

因数，进而凑整求和．

原式 2012 24 2008 24 (2012 2008) 24 4 24 96

答案】 96

作业 6】 计 算： 2012 77 8048 1006

考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】 2 星 【题型】计算 解析】 原 式 2012 77 2012 4 27 2012 2012 (77 4 27) 201200 答案】 201200

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