2012年5月海淀区一模数学试题及答案

海淀区九年级第二学期期中练习

数 学 试 卷 2012. 5

学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．． 1．

23的相反数是

23A． B．

23 C．32 D．

32

2. 2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福, 主办方共收 到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数法表示应为

A．41.43  103 B．4.143  104 C．0.4143  105 D．4.143 105

O上, 若C=40, 则AOB的度数为 3. 如图, 点A、B、C在⊙

A．20 B．40

C．80 D．100

4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面 的点数为偶数的概率为 A．

16131412A C O B B． C． D．

DBAB5．如图，在△ABC中，C=90, 点D在CB上，DEAB于E，若DE=2， CA=4，则

值为 A． C．

1412 的

C B． D．

21323

ADEB6．将代数式x24x1化为(xp)q的形式, 正确的是

A．(x2)23 B．(x2)25 C．(x2)24 D．(x2)24 7. 北京市环保检测中心网站公布的2012年3月31日的PM2.5研究性检测部分数据如下表:

时间 PM2.5(mg/m3) 0:00 0.027 4:00 0.035 8:00 0.032 12:00 0.014 16:00 0.016 20:00 0.032 则该日这6个时刻的PM2.5的众数和中位数分别是 A. 0.032, 0.0295 B. 0.026, 0.0295 C. 0.026, 0.032 D. 0.032, 0.027 8.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是

A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数y=

x1x3

的自变量x的取值范围是 ．

10．分解因式：x3 - 4x= ．

11. 右图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别 表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线, ∠ABC=150°， BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h

A 约为 米．

12. 在平面直角坐标系xOy中, 正方形A1B1C1O、 A2B2C2B1、A3B3C3B2, …,按右图所示的方

式放置. 点A1、A2、A3, …和 B1、B2、B3, … y分别在直线y=kx+b和x轴上. 已知C1(1, -1), C 2(,2732A1C 150° B D h A2B1C2B2A3y=kx+b), 则点A3的坐标是 ;

O点An的坐标是 .

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：(3.14π)082sin45()1．

31C1B3xC3①x20，14．解不等式组： 

②

2x13x1.15. 如图，AC//FE, 点F、C在BD上，AC=DF, BC=EF. 求证：AB=DE. 16．已知

xa,yb

A C B F E

D

是方程组2xy3,2xy1的解, 求4a(ab)b(4ab)5的值. 3xy 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y的图象

1 与一次函数y=kx的图象的一个交点为A(m, -3)． x -1 O 1 （1）求一次函数y=kx的解析式；

（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接 A 写出点P的坐标．

18．列方程或方程组解应用题：

三月植树节期间，某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划 多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，问现 在平均每天植树多少棵？

C D 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形ABCD中，ABC=90，CAB=30, DEAC于E，

E 且AE=CE，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD的周长．

A B

20．如图，△ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径, E是CB延长线上一点, 且BAE=C.

（1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若EB=AB , cosE45A , AE=24，求EB的长及⊙O的半径． B O D C

E

21. 以下是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分. 某手机店今年1～4月

各月手机销售总额统计图

某手机店今年1～4月音乐手机销售额占 该手机店当月手机销售总额的百分比统计图

销售总额（万元）百分比1008060408525%806520%15%10%5%2月3月4月月份023%18%15%17%

20

0月 1 1月2月3月4月月份

图1 图2 请根据图1、图2解答下列问题：

（1）来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，

请将图1中的统计图补充完整；

（2）该店1月份音乐手机的销售额约为多少万元(结果保留三个有效数字)？

（3）小刚观察图2后认为，4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？ 请你说明理由． 22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

D A

D A E

O C B

C O B 图1 图2

小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、

BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BCE的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形

ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为

三边长的三角形的面积等于 ．

I H

B D A C

E G

F

图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x的方程 mx2(3m1)x30.

（1）求证: 不论m为任何实数, 此方程总有实数根；

（2）若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试

确定此抛物线的解析式；

（3）若点P(x1,y1)与Q(x1n,y2)在（2）中抛物线上 (点P、Q不重合), 且y1=y2, 求代

数式4x1212x1n5n216n8的值.

24． 在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC,

N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．

（1）如图1，若点E在DP上, EF与DC交于点M, 试探究线段NP与线段NM的数量

关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；

（2）如图2，若点M在线段EF上, 当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然

成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.

B P E

M N A D

A F

E C

B

P

N C

D

F

图1 图2

25. 已知抛物线yx2bxc的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B. （1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SABM3, 求点M的坐标；

（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D. 将抛物线

yxbxc平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交

2

点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由.

yBAP Ox 图1

yAPOx 图2

海淀区九年级第二学期期中练习

数

2012.05

说明: 与参不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1. A 2. B 3. C 4. D 5. C 6. B 7. A 8. C

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.x3 10.x(x2)(x2) 11. 6 12．(（每空2分）

三、解答题（本题共30分, 每小题5分） 13．解：(3.14π)082sin45()1

31学试卷答案及评分参考

294,94);3n13n15()4,()22

=1222223 …………………………………………4分

=42. ………………………………………5分

14．解：由不等式①解得 x2, ………………………………2分 由不等式②解得

x3. ………………………………………4分

因此不等式组的解集为2x3. ……………………5分

15．证明：∵ AC //EF，

∴ ACBDFE． …………………………… 1分

在△ABC和△DEF中，

ACDF,ACBDFE,BCEF,A D

C B F E

∴ △ABC≌△DEF． ……………………………… 4分

∴ AB=DE． ……………………… 5分 16. 解: 法一：∵ 

xa,yb

是方程组 2xy3,2xy1 的解,

∴ 2ab3,2ab1. ……………………………2分

解得 a1,b1. ………………………… 4分

∴ 4a(ab)b(4ab)541(11)141158. …… 5分

法二：∵ 

xa,yb

是方程组 2xy3,2xy1 的解,

∴ 2ab3,2ab1. ……………………………2分

原式4a24ab4ab2b542a2b5 将2ab3,2ab1代入上式,

(2ab)(2a. b ) …45分

得

原式(2ab)(2ab)53158. ………………………5分 17．解：（1）∵ 点A（m,3）在反比例函数y ∴ 33m3x的图象上，

.

∴ m1． ………………………… 1分 ∴ 点A的坐标为A（-1, -3）. ……………………………… 2分 ∵ 点A在一次函数ykx的图象上，

∴ k3. ∴ 一次函数的解析式为y=3x. ……………………… 3分 （2）点P的坐标为P (1, 3) 或P (-3, -9). （每解各1分）……… 5分

18．解：设现在平均每天植树x棵. ………………………… 1分 依题意, 得600450. ………………………………… 2分

xx50 解得：x200. …………………………………… 3分

经检验，x200是原方程的解，且符合题意. …………4分 答：现在平均每天植树200棵. …………………………… 5分

四、解答题（本题共20分, 每小题5分） 19．解: ∵ABC=90，AE=CE，EB=12，

∴ EB=AE=CE=12. ……………………1分

∴ AC=AE+CE=24.

∵在Rt△ABC中，CAB=30,

∴ BC=12, ABACcos30123. ……………………2分 ∵ DEAC，AE=CE，

∴ AD=DC． ………………………………3分

2222 在Rt△ADE中，由勾股定理得 AD=AEDE12513．…4分

D E

A C

B

∴DC=13.

∴ 四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=38+123． ……………… 5分

20.（1）证明：连结BD.

∵ AD是⊙O的直径， ∴∠ABD =90°. ∴∠1+∠D =90°. ∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，

∴∠D=∠BAE. …………………………1分 ∴∠1+∠BAE=90°. 即 ∠DAE=90°. ∵AD是⊙O的直径，

（2）解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90.

∵ EB=AB,

∴∠E=∠BAE, EF=

1212AFEBD1OC∴直线AE是⊙O的切线.…………………………………2分

AE=

45×24=12.

∵∠BFE=90, cosE ∴EBEFcosE,

12=15. …………………………3分

∴ AB=15.

由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, ∴∠D=∠E.

∵∠ABD=90,

∴ cosDBDAD45 . …………………………4分

设BD=4k，则AD＝5k.

在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝AD2BD2=3k, 可求得k=5. ∴AD25.

∴⊙O的半径为25. ………………………………5分

221.解：（1）290-(85+80+65)=60 (万元) . 补图(略)………………1分

（2）8523%=19.5519.6 (万元).

所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元. …………3分 （3）不同意，理由如下：

3月份音乐手机的销售额是 6018%10.8（万元）,

4月份音乐手机的销售额是 6517%11.05（万元）………4分

而 10.8<11.05,

因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了.……5分

22. 解：△BCE的面积等于 2 . …………1分 E （1）如图（答案不唯一）： ……2分

以EG、FH、ID的长度为三边长的

一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角

形的面积等于 3 ． …………5分

IHDABCG

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）当m=0时，原方程化为x30, 此时方程有实数根 x = -3. …………1分

当m0时，原方程为一元二次方程.

∵3m112m9m26m13m10.

∴ 此时方程有两个实数根.………………………………2分 综上, 不论m为任何实数时, 方程 mx2(3m1)x30总有实数根.

（2）∵令y=0, 则 mx2+(3m+1)x+3=0. 解得 x13，x21m22. …………………………3分

∵ 抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，

∴m1.

∴抛物线的解析式为yx24x3. ……………………4分

（3）法一：∵点P(x1,y1)与Q(x1n,y2)在抛物线上, ∴y1x124x13, ∵y1y2,

∴x124x13(x1n)24(x1n)3.

可得 2x1nn24n0.

即 n(2x1n4)0. ∵ 点P, Q不重合, ∴ n0.

∴ 2x1n4. ………………………5分 ∴ 4x1212x1n5n216n8(2x1)22x16n5n216n8

(n4)26n(n4)5n216n824. ………………7分

法二：∵ yx24x3=(x+2)-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=-2.

∵ 点P(x1,y1)与Q(x1n,y2)在抛物线上, 点P, Q不重合, 且

2

y2(x1n)4(x1n)3.

2

y1y2,

∴ 点 P, Q关于直线 x=-2对称. ∴

x1x1n22.

∴ 2x1n4. ……………………5分

下同法一.

24. 解:（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180 (或其它变式及文字叙述,各1分).………2分

（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法). 证明：如图, 分别连接BE、CF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB， ∴∠ABD=∠BDC. ∵ ∠A=∠DBC，

∴ ∠DBC=∠DCB. ∴ DB=DC. ① ………………………3分 ∵∠EDF =∠ABD,

∴∠EDF =∠BDC.

∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .

即∠BDE =∠CDF. ②

又 DE=DF， ③ 由①②③得△BDE≌△CDF. ………………………4分 ∴ EB=FC, ∠1=∠2.

∵ N、P分别为EC、BC的中点， ∴NP∥EB, NP=EB.

21A D

F

M 1 4 B

P E N 3 2 C

同理可得 MN∥FC，MN=FC.

21 ∴ NP = NM. ………………………………5分

∵ NP∥EB,

∴∠NPC=∠4. ∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4. ∵MN∥FC， ∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.

∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4 =∠DBC+∠DCB=180-∠BDC=180-∠ABD.

∴ ∠ABD +∠MNP =180.……………………7分 25.解：（1）依题意, b211,

解得b=-2.

将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式yx2bxc得

2 6323c.

解得 c=3.

所以抛物线的解析式为yx22x3. ………………………1分

（2）∵抛物线 yx22x3与y轴交于点A，

∴ A(0, 3).

∵ B(3, 6),

可得直线AB的解析式为yx3.

设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x22x3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图1)

∴ SABMSAMNSBMN112MNxBxA3.…………2分 y ∴x3x22x333.

2BN 解得 x11,x22. A ∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). ……………………4分 P M （3）如图2，由 PA=PO, OA=c, 可得PD2c2.

b4cb42Ox ∵抛物线yxbxc的顶点坐标为 P(,2), ∴

4cb42c2.

∴ b22c. ………………………………5分 ∴ 抛物线yx2bx（b，0）.

2112b, A（0，

212，P（b）

212b，

14b）, D

2y 可得直线OP的解析式为y ∵ 点B是抛物线yx2bx与直线y 令 1221212bx.

ABb

POx212bx的图象的交点， 12b2b.

2DCbxxbxx2 解得x1b,. 图2

1 可得点B的坐标为（-b，b2）. ………………6分

2 由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为

yxmx212b.

2

将点D(b，0)的坐标代入yx2mx21122b，得m32b.

∴ 平移后的抛物线解析式为yx2 令y=0, 即x232bx1212b0.

232bx122b.

解得x1b,x2b.

依题意, 点C的坐标为（-b，0）.……………………7分 ∴ BC=b2.

21 ∴ BC= OA.

又BC∥OA， ∴ 四边形OABC是平行四边形.

∵ ∠AOC=90，

∴ 四边形OABC是矩形.………………………………………8分