2016海淀一模数学试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（理科） 2016.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 函数f(x)2x1的定义域为

开 始 输入 A.[0,) B.[1,) C.(,0] D.(,1]

2. 某程序的框图如图所示，若输入的zi（其中i为虚数单位），则输出 的S值为

n >9 n=1 是 A.1 B.1 C.i D.i

否 xy+20,13. 若x,y满足 xy40, 则zxy的最大值为

2y0, A.

输出S 结束 n=n+1 57 B.3 C. D.4 221主视图12113左视图4. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 A.332326 B. C. D. 3233俯视图5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}为常数列”是“nN，Snnan”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 在极坐标系中，圆C1:2cos与圆C2:2sin相交于A,B两点， 则AB A.1 B.2 C.3 D.2

*sin(xa),x0,7. 已知函数f(x) 是偶函数，则下列结论可能成立的是 ．．cos(xb), x0 A. aππ2ππ,b B. a,b 4436 1 / 16

C. a

ππ5π2π ,b D. a,b36638. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完

机器 工作效益一 二 三 四 五 甲 乙 成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确的是 ．．

A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知向量a(1,t),b(t,9), 若ab，则t__. 10. 在等比数列an中，a22，且

丙 丁 戊 15 22 9 7 13 17 23 13 9 15 14 21 14 11 14 17 20 12 9 15 15 20 10 11 11 115，则a1a3的值为___. a1a341111. 在三个数, 22, log32中，最小的数是__.

2πx2y212. 已知双曲线C:221的一条渐近线l的倾斜角为，则C的离心率为__;

3ab若C的一个焦点到l 的距离为2,则C的方程为__.

13. 如图,在 在三角形三条边上的6个不同的圆内填上数字1,2,3其中的一个.

(i) 当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有___种； (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有__种.

14. 已知函数f(x)，对于给定的实数t，若存在a0,b0，满足：x[ta,tb]，使得

f(t)|，则记2 |f(x)ab的最大值为H(t).

2 / 16

（i） 当f(x)2x时，H(0)___；

（ii）当f(x)x2且t[1,2]时，函数H(t)的值域为___.

3 / 16

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）

如图，在ABC中，点D在边AB上,且

AD1. 记ACD,BCD. DB3CACsin（Ⅰ）求证: ； 7分 BC3sin（Ⅱ）若ππ，，AB19,求BC的长. 6分 62ABD

16.（本小题满分13分）

2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等权威机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广. 2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖. 目前，国内青蒿人工种植发展迅速.

某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验. 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本, 每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：

编号位置 ① 5.0 3.6 ② 3.8 4.4 ③ 3.6 4.4 ④ 3.6 3.6 山 上 山 下 （Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；3分

（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为s12，s22，根据样本数据, 试估计s12与s22

的大小（只需写出结论）；3分

（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为， 求随机变量的分布列和数学期望. 7分

4 / 16

17.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M,N分别为线段PB,PC上的点，MNPB. （Ⅰ）求证：BC平面PAB； 4分

（Ⅱ）求证：当点M不与点P,B重合时，M,N,D,A四个点在同一个平 面内；5分

MNDABCPπ（Ⅲ）当PAAB2，二面角CAND大小为为时，求PN的长.

3 5分

18.（本小题满分13分）

已知函数f(x)lnx1x1. 1，g(x)xlnx（Ⅰ）求函数f(x)的最小值； （Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；

(Ⅲ) 求证：直线yx不是曲线yg(x)的切线.

19.（本小题满分14分）

x2y23 已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，

ab2|AB|2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧. 直线PA，PB与直线x4分

别相交于M，N 两点. 若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.

5 / 16

20.（本小题满分13分）

给定正整数nn3，集合Un1,2,,n. 若存在集合A,B,C，同时满足下列三个条件：

①UnABC, ABBCAC;

②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中

（集合C中还可以包含其它数）；

③集合A,B,C中各元素之和分别为SA,SB,SC，有SASBSC; 则称集合Un为可分集合.

（I） 已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A,B,C； （II）证明：若n是3的倍数，则Un不是可分集合； ．．（III）若Un为可分集合且n为奇数，求n的最小值．

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数学（理科） 2016.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

6 / 16

9． 3 10． 5 11. 1 2y212．x1 32 13．4,6 14． 2, [62,2)[23,4] C三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）

在ACD中，由正弦定理,有

ADBACAD …………………2分

sinADCsin在BCD中，由正弦定理,有

BCBD …………………4分

sinBDCsin因为ADCBDCπ,所以sinADCsinBDC …………………6分 因为

（Ⅱ）因为AD1ACsin, 所以 …………………7分 DB3BC3sinππ，, 62πAC23 …………………9分 由（Ⅰ）得

BC3sinπ26sin设AC2k,BC3k,k0,由余弦定理,

AB2AC2BC22ACBCcosACB …………………11分

代入,得到194k9k22k3kcos222π, 3解得k1,所以BC3. …………………13分

16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 x3.64.44.43.64 …………………2分

4 则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S估算为

S100x400g …………………3分 （Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差s1和s2，结果为s1s2.

…………………6分

7 / 16

2222

（Ⅲ）依题意，随机变量可以取7.2，7.4，，88.2，8.6，9.4， …………………7分

P(7.2)11, P(7.4) 48P(8)11, P(8.2) 4811, P(9.4) …………………9分 88P(8.6)随机变量的分布列为

8.2 8.6 9.4  7.2 7.4 8 p 111111 484888 …………………11分 随机变量的期望E()7.21111117.4+8+8.2+8.6+9.4=8. 484888 …………………13分 17解:

（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，ABBC, …………………1分 因为PA平面ABCD，BC平面ABCD， 所以PABC. …………………2分 因为ABPAA，且AB，PA平面PAB，

所以BC平面PAB …………………4分 （Ⅱ）证明：因为BC平面PAB，PB平面PAB,

所以BCPB …………………5分 在PBC中，BCPB，MNPB，

所以MNBC. …………………6分 在正方形ABCD中，ADBC, 所以MNAD， …………………7分

AD可以确定一个平面，记为 所以 MN，所以M,N,D,A四个点在同一个平面内 …………………8分 （Ⅲ）因为PA平面ABCD，AB,AD平面ABCD，

所以PAAB,PAAD. 又ABAD,如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系

8 / 16

Axyz, …………………9分

所以C(2,2,0),D(0,2,0),B(2,0,0),P(0,0,2). 设平面DAN的一个法向量为n(x,y,z)，

zPMNDy平面CAN的一个法向量为m(a,b,c), 设PNPC, [0,1]，

因为PC(2,2,2)，所以AN(2,2,22)，

ABxC2x2y(22)z0ANn0又AD(0,2,0)，所以，即，…………………10分

2y0ADn01,0,1), …………………11分 取z1, 得到n(因为AP(0,0,2)，AC(2,2,0)

APm02c0所以，即，

2a2b0ACm0取a1得, 到m(1,1,0), …………………12分

π1因为二面CAND大小为, 所以|cosm,n|cos,

332mn所以|cosm,n||m||n|11 2122()1解得1, 所以PN3 …………………14分 218解: （Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)， …………………1分

f'(x)11x122 …………………2分 xxx

当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (0,1) 1 (1,) f'(x) f(x)   0 极小值   …………………4分

9 / 16

函数f(x)在(0,)上的极小值为f(a)ln1110， 1所以f(x)的最小值为0 …………………5分 （Ⅱ）解：函数g(x)的定义域为(0,1)(1,)， …………………6分

11lnx1f(x)xx…………………7分 g'(x)222 lnxlnxlnxlnx(x1)由（Ⅰ）得，f(x)0，所以g'(x)0所以g(x)的单调增区间是(0,1),(1,)，无单调减区间 . （Ⅲ）证明：假设直线yx是曲线g(x)的切线. lnx10设切点为(xx100,y0)，则g'(x0)1，即

ln2x1 0又y0x01lnx,yx010x0，则lnxx0. 00所以lnxx010x11, 得g'(x0)0，与 g'(x0)1矛盾 0x0所以假设不成立，直线yx不是曲线g(x)的切线

19解：（Ⅰ）由题意可得，b1， eca32， 得a21a234， 解a24， 椭圆C的标准方程为x24y21. （Ⅱ）设P(x0,y0)(0x02)，A(0,1)，B(0,1)， 所以k01PAy，直线PA的方程为yy01xx1， 0x0 10 / 16

…………………8分

…………………9分 ………………10分

…………………11分 12分 …………………13分…………………1分

…………………2分 …………………3分 …………………4分

…………………5分 …………………6分

…………………

同理：直线PB的方程为yy01x1， x04(y01)1)， …………………7分 直线PA与直线x4的交点为M(4,x0直线PB与直线x4的交点为N(4,4(y01)x1)， 0 线段MN的中点(4,4y0x)， 0所以圆的方程为(x4)2(y4y0x)2(14)2， 0x0令y0，则(x4)216y20xx2(10)2， 042因为x4y21，所以 y200110x2， 04所以(x4)28x50， 0因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 58x0，解得x80(,2]. 05 设交点坐标(x1,0),(x2,0)，则|x1x2|258x（8x02）05所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.

方法二：（Ⅱ）设P(x0,y0)(0x02)，A(0,1)，B(0,1)， 所以k01PAyx，直线PA的方程为yy01x1， 0x0同理：直线PB的方程为yy01xx1， 0 11 / 16

…………………8分 …………………9分 10分

…………………11分 …………………12分

…………………14分 …………………6分 …………………

直线PA与直线x4的交点为M(4,4(y01)1)， …………………7分 x04(y01)1)， x0直线PB与直线x4的交点为N(4,若以MN为直径的圆与x轴相交， 则[4(y01)4(y1) …………………9分 1][01]0，

x0x0216(y01)4(y01)4(y01)10, 2x0x0x0即

216(y01)8即10. …………………10分 2x0x022x0y0112y01，所以 因为 , …………………11分 24x04

代入得到 5880，解得x0(,2]. …………………12分

5x0该圆的直径为|4(y01)4(y1)8+1(01)|=|2|， x0x0x04(y1)4y14(y01)+1+(01)|=|0|，

2x0x0x0圆心到x轴的距离为|该圆在x轴上截得的弦长为2(1424y0288)()25,(x2)； x0x0x05所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 方法三：

（Ⅱ）设P(x0,y0)(0x02)，A(0,1)，B(0,1)， 所以kPAy01y1x1， …………………6分 ，直线PA的方程为y0x0x0y01x1， x0 12 / 16

同理：直线PB的方程为y

直线PA与直线x4的交点为M(4,4(y01)1)， …………………7分 x04(y01)1)， x0直线PB与直线x4的交点为N(4,所以|MN|=|4(y01)4(y01)8+1(1)|=|2|， …………………8分 x0x0x04(y1)4y14(y01)+1+(01)|=|0|， …………………9分

2x0x0x04y4||0|， …………………10分 x0x0圆心到x轴的距离为|若该圆与x轴相交，则 |1即(1424y02)()0， x0x022x0y0112y01，所以2, …………………11分因为 4x04

所以5880，解得x0(,2] …………………12分

5x0该圆在x轴上截得的弦长为2(1424y0288)()2525=2； x0x0x02所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

0) , H(4，0)，设P(x0,y0) M(4,m) N(4,n) 方法四： 记D(2，由已知可得A(0,1) B(0,1)， 所以AP的直线方程为yy01x1， ……………………….6分 x0y01x1， x0BP的直线方程为y令x4，分别可得m4(y01)1， x0 13 / 16

n4(y01)1 ， ……………………….8分 x0所以M(4,4(y01)4(y1)1),N(4，01) x0x0若以MN为直径的圆与x轴相交于E,F，

因为EHMN， 所以EH2HNHM， ……………………….9分

EH2HNHM(4(y01)4(x1)(y01)1) 0x0 (16y20168x20x0x2) 0因为 x204y2y201101，所以x2, 04代入得到EH28x05x20x20 0所以x80(5,2]， 所以EF2EH258x25822 0

所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.

方法五：

设直线 OP与x4交于点T 因为MN//y 轴，所以有APPNAOOPBPBOOPTNPT,PMTMPT, 所以

AOTNBOTM，所以TNTM，所以T是MN的中点. 又设P(x0,y0)(0x02), 所以直线OP方程为yy0xx, 0令x4,得y4y0x, 所以T(4，4y0) 0x0而rTN4x1 0若以MN为直径的圆与x轴相交于E,F

14 / 16

……………………….10分 ……………………….11分

……………………….12分 …………………14分 ……………………….6分 ……………………….7分 ……………………….8分 ……………………….9分

则d|4y04|r1 ……………………….10分 x0x022所以16y0(x04)

22y011x02因为 y01，所以2,代入得到 ……………………….11分

x0442所以5x08x00，所以x08或x00 5因为点0x02，所以x02 ……………………….12分 而EF2rd2(2284y1)2(0)2 x0x0 2588252 x02所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 20解：

（I）依照题意，可以取A5,7，B4,8，C1,2,3,6 …………………3分（II）假设存在n是3的倍数且Un是可分集合. 设n3k，则依照题意{3,6,,3k}C，

3k23k故SC363k，

2n(1n)1n(1n)3k2k3k23k而这n个数的和为，故SC, 矛盾，

23222所以n是3的倍数时，Un一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n35. …………………8分 因为所有元素和为

n(1n)n(1n)3SB=6m(m为正整数) ，又SB中元素是偶数，所以

22所以n(1n)12m，因为n,n1为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道，n不是3的倍数，所以一定有n1是3的倍数. 当n为奇数时，n1为偶数，而n(1n)12m，

所以一定有n1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n112k,

所以n12k1,kN. …………………10分 定义集合D{1,5,7,11,...}，即集合D由集合Un中所有不是3的倍数的奇数组成，

15 / 16

*

定义集合E{2,4,8,10,...}，即集合E由集合Un中所有不是3的倍数的偶数组成， 根据集合A,B,C的性质知道，集合AD,BE，

2此时集合D,E中的元素之和都是24k，而SASBSC1n(1n)24k22k，

32此时Un中所有3的倍数的和为

(312k3)(4k1)24k26k，

224k2(24k22k)2k,(24k22k)(24k26k)4k

显然必须从集合D,E中各取出一些元素，这些元素的和都是2k，

所以从集合D{1,5,7,11,...}中必须取偶数个元素放到集合C中，所以2k6, 所以k3，此时n35

而令集合A{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}，

集合B{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}， 集合C{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}，

检验可知，此时U35是可分集合, 所以n的最小值为35. …………………13分

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