云和县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． 下列命题中正确的是（ ）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ C．“

”是“

”的充分不必要条件

”

D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“A．两个点

B．四个点

C．两条直线 D．四条直线

2． 方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ）

3． 抛物线y2=8x的焦点到双曲线A．1

B．

的渐近线的距离为（ ） C．

D．

4． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在

5． 已知抛物线x2=﹣2y的一条弦AB的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB所在的直线方程是（ ） A．y=x﹣4 B．y=2x﹣3 C．y=﹣x﹣6 D．y=3x﹣2

6． 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（ ） A．[3，+∞）

7． 设F1，F2为椭圆（ ） A．

B．

C．

D． B．（3，+∞）

C．[﹣∞，3]

D．[﹣∞，3）

的值为

=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则

8． 三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=6，则b的取值范围是（ ） A．[﹣6，2] B．[﹣6，0）∪（ 0，2] C．[﹣2，0）∪（ 0，6] D．（0，2]

9． 已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（ ） A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 10．已知命题p：存在x0＞0，使2A．对任意x＞0，都有2x≥1 C．存在x0＞0，使2数的概率是（ ） A．

B．

D．﹣1或﹣3 ＜1，则￢p是（ ）

＜1

D．

B．对任意x≤0，都有2x＜1

≥1 D．存在x0≤0，使2

C．

11．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分

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12．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（ ） A．{5，8}

B．{7，9}

C．{0，1，3}

D．{2，4，6}

二、填空题

13．已知

2=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|= ．

14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x,则yf(x)在R上的解析式为 15．若函数f（x）=

﹣m在x=1处取得极值，则实数m的值是 ．

16．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 󰀀 ． 14．已知集合17．已知数列

的前项和是

，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是 ．

, 则数列的通项

__________

18．在等差数列{an}中，a1，a2，a4这三项构成等比数列，则公比q= ．

三、解答题

19．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2．

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线l2与l1垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S△ABC=2，求直线l2的方程．

20．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．

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21．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）

＜

；

（n∈N）．证明：对一切n∈N，有

*

*

（Ⅱ）0＜an＜1．

22．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．

23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|． （1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

24．已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”．若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．

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25．（本小题满分12分） 已知函数f(x)eaxbx.

（1）当a0,b0时，讨论函数f(x)在区间(0,)上零点的个数； （2）证明：当ba1，x[,1]时，f(x)1.

26．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y） （1）求f（1）的值，

（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

x212第 4 页，共 14 页

云和县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确； ““故“

”⇒“

”是“”⇒“

+2kπ，或”，

”的必要不充分条件，故C不正确；

”，故D正确． ，k∈Z”，

x

命题“∀x∈R，2＞0”的否定是“

故选D．

【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．

2． 【答案】B

2222

【解析】解：方程（x﹣4）+（y﹣4）=0 22

则x﹣4=0并且y﹣4=0，

即解得：

， ，

，

，

，

得到4个点． 故选：B．

【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．

3． 【答案】A

2

【解析】解：因为抛物线y=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0） 又双曲线

．渐近线为y=

=1．

有点到直线距离公式可得：d=故选A．

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．

4． 【答案】C

【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论． 【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ， 则tanθ=﹣2，

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则θ为钝角． 故选：C．

5． 【答案】A

22

【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x1=﹣2y1，x2=﹣2y2． 两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2） ∴直线AB的斜率k=1，

∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4． 故选A，

6． 【答案】B

【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}， 若A⊆B，则a＞3， 故选：B．

【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题． 7． 【答案】C

【解析】解：F1，F2为椭圆

=1的两个焦点，可得F1（﹣

，0），F2（）．a=2，b=1．

点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2， |PF2|=

=，由勾股定理可得：|PF1|=

=．

==．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

8． 【答案】B

【解析】解：设此等比数列的公比为q， ∵a+b+c=6， ∴∴b=

=6， ．

当q＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；

当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．

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∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9． 【答案】A

【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行， 所以=

≠

，

解得 a=﹣3，或a=1． 故选：A．

10．【答案】A

【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2故选：A

11．【答案】D 数，

＜1为特称命题，

x

∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2≥1．

个分

【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成

个， =

，

由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数， 故这种分数是可约分数的共有则分数是可约分数的概率为P=故答案为：D

【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．【答案】B

【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，

所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}， 所以（CUA）∩（CUB）={7，9} 故选B

二、填空题

13．【答案】

．

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【解析】解：∵∴

=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，

，解得b=1，a=2．

．

∴|a﹣bi|=|2﹣i|=故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

2x2x,x014．【答案】y

2x2x,x0【解析】

试题分析：令x0，则x0，所以fxx2xx2x，又因为奇函数满足

222x2x,x02。 fxfx，所以fxx2xx0，所以yfx在R上的解析式为y2x2x,x0考点：函数的奇偶性。 15．【答案】

﹣2

2

﹣m的导数为f′（x）=mx+2x，

【解析】解：函数f（x）=由函数f（x）=即有f′（1）=0，

﹣m在x=1处取得极值，

即m+2=0，解得m=﹣2，

2

即有f′（x）=﹣2x+2x=﹣2（x﹣1）x，

可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点． 故答案为：﹣2．

【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．

16．【答案】 6 ．

32222

【解析】解：f（x）=x﹣2cx+cx，f′（x）=3x﹣4cx+c， f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4， 令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，

故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减， ∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6． 故答案为6

【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．

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17．【答案】【解析】 当当

时，时，

，

，所以

两式相减得：令 答案：

得

18．【答案】 2或1 ．

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，

2

则可得（a1+d）=a1（a1+3d）

解得a1=d或d=0 ∴公比q=

=2或1．

故答案为：2或1．

【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，属基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2， 可知交点坐标为（2，﹣2），

222

∴（2﹣a）+（﹣2）=a，解得：a=2， 22

所以圆的标准方程为：（x﹣2）+y=4，

（2）由（1）可知圆C的圆心C的坐标为（2，0）

由直线l2与直线l1垂直，直线l1：y=﹣x可设直线l2：y=x+m， 则圆心C到AB的距离d=|AB|=2

=2

，

•

=2

所以S△ABC=|AB|•d=•2

222

令t=（m+2），化简可得﹣2t+16t﹣32=﹣2（t﹣4）=0， 2

解得t=（m+2）=4，

所以m=0，或m=﹣4

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∴直线l2的方程为y=x或y=x﹣4．

20．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|



＝－x＋2a＋1，－1＜x＜a， 3x－2a＋1，x≥a，

2

2

2

2

－3x＋2a2－1，x≤－1，

当x≤－1时，f（x）≥f（－1）＝2a2＋2， －1＜x＜a2，f（a2）＜f（x）＜f（－1）， 即a2＋1＜f（x）＜2a2＋2， 当x≥a2，f（x）≥f（a2）＝a2＋1，

所以当x＝a2时，f（x）min＝a2＋1，由题意得a2＋1＝3，∴a＝±2. （2）当a＝±2时，由（1）知f（x）＝ －3x＋3，x≤－1，

－x＋5，－1＜x＜2， 3x－3，x≥2，

由y＝f（x）与y＝m的图象知，当它们围成三角形时，m的范围为（3，6]，当m＝6时，围成的三角形面积

1

最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.

2

21．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=，an+1=an+∴an＞0，an+1=an+∴

∴对一切n∈N，

*

*

（n∈N），

＞0（n∈N），an+1﹣an=

*

＞0，

， ＜

*

．

＜

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N，

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∴

∴当n≥2时， =＞3﹣[1+=3﹣[1+=3﹣（1+1﹣=

，

，

] ]

）

∴an＜1，又，

*

∴对一切n∈N，0＜an＜1．

【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+， ∴f（1）=1， ∴切点为（1，1） ∵f′（x）=﹣1﹣∴f′（1）=﹣2，

∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1）， 即2x+y﹣3=0；

（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=

， =

，

若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，

2

则g（x）=ax﹣x+2在（0，+∞）2个解，

故，

解得：0＜a＜．

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23．【答案】

【解析】解：（1）a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2， ①当x≥时，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2， ②当1＜x＜时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0． ③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤． ∴综上，原不等式解集为{x|x≤或x≥2}． （2）即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立 令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|=

，

则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，

故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方， 数形结合可得≥3，

∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．

【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．

24．【答案】

【解析】解：若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则

；

若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m＜4． 若p∨q为真，￢p为真， 则p为假命题，q为真命题． ∴

∴实数m的取值范围是

．

或

．

＜1，解得1﹣

【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

e2e2e225．【答案】（1）当a(0,)时，有个公共点，当a时，有个公共点，当a(,)时，有个公共

444点；（2）证明见解析. 【解析】

exex试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得a2,构造函数h(x)2,利用h(x)'求出

xx第 12 页，共 14 页

e2单调性可知h(x)在(0,)的最小值h(2),根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数

4h(x)exx2x1,利用导数可判断h(x)的单调性和极值情况,可证明f(x)1.1

试题解析：

当a(0,e)时，有0个公共点； 42

e2当a，有1个公共点；

4e2当a(,)有2个公共点.

4x2'x（2）证明：设h(x)exx1，则h(x)e2x1，

令m(x)h(x)e2x1，则m(x)e2，

'x'x11'22'当x(ln2,1)时，m(x)0，m(x)在(ln2,1)上是增函数，

因为x(,1]，所以，当x[,ln2)时，m(x)0；m(x)在[,ln2)上是减函数，

12第 13 页，共 14 页

考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.

【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 26．【答案】

【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中， 令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）， ∴f（1）=0；

（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6）， ∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2

等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6）， ∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6）， 即f（

）＜f（6），

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴

，解得﹣3＜x＜9，

即不等式的解集为（﹣3，9）．

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