勾股定理培优讲义

勾股定理知识点汇总

一、基础知识点： １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2 ２.勾股定理的证明

DCHEFbGacB 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

Abacabc1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2bccbaa方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面

AaDb1积与小正方形面积的和为S4abc22abc2 大正方形面积为S(ab)2a22abb2 2所以abc

222ccEabC111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证a2b2c2

222３.勾股定理的适用范围

B勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角

形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；

② 若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； 1v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

③ 定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足

a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 ６.勾股数

2 22

满足a+ b= c的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) ③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数） m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

CCC30°ABADBBDA

10、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

经过证明被确认正确的命题叫做定理

如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理

2v

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考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

S1S2S3

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）

A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是

、

=_____________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

3v

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1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．

2．（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍 5、在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。 6、如果直角三角形的两直角边长分别为n1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ） A、2n

B、n+1

C、n－1

2

2 D、n1

27、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

A. a2b2c2 B. a2c2b2 C. c2b2a2 D.以上都有可能 8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A、24cm2

B、36 cm2

2

2

2

C、48cm2 D、60cm2

9、已知x、y为正数，且│x-4│+（y-3）=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A、5 B、25 C、7 D、15

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示，等腰

中，

，

是底边上的高，若

.

求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 3、下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B； ②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC中，a：b：c=3：4：5； ④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、若三角形的三边之比为

21::1，则这个三角形一定是（ ） 224v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形

22222

5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的形状为（ ）

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7、若△ABC的三边长a,b,c满足a2b2c220012a16b20c，试判断△ABC的形状。

8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。

例3：求

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。 （2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为 。 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，

则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ,面积为

考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）

１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米

A C B 5v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

D

B

AC

4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；•另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .

60 A B 120

C 140 6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树

梢，至少飞了 米．

7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km•就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离

是多少？ 8米 2米 8米 第6题图

考点七：折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落 在A边上上的点E，折痕为AD，连接DE，则CD等于（ ） A.

25227 B. C. D.3 43482、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

6v

660 1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

A D

E

B C F

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点F重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。 （1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

7v

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8、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（ ）

A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

2-5

11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

8v

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13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

考点八：应用勾股定理解决勾股树问题

1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的 正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为

12 D

132、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个C3B4A等腰Rt△

ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

考点九、图形问题

1、如图1，求该四边形的面积

2、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC的长为 ．

3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 .

4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。

9v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

考点十：其他图形与直角三角形

如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

考点十一：与展开图有关的计算

1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

B2、 如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点， 则最少要爬行 cm

A3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

10v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

考点十二、航海问题

1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．

2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

考点十三、网格问题

1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5

CAACDB BDBCAC北

（图1） （图2） （图3）

AABC60B30DM东11v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

①使三角形的三边长分别为3、8、5（在图甲中画一个即可）； ②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

甲乙

培优题

一、选择题

1.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( )

A. 12cm B.

C.

D.

2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ A.

5332 B.3 C.3+2 D. 23、下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ） A、三个角的比为1:2:3 B、三条边满足a2=b2－c2

C、三条边的比为1:2:3 D、三个角满足关系∠B=∠C＋∠A 4、下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（ ）

①、9,12,15 ②、13,12,6 ③、9,12,14 ④12,16,20

12v

）1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

A、①④ B、①② C、③④ D、②④

5、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．

A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm

6、△ABC中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC的长为（ ） A. 14 B. 14或4 C. 8 D. 4和8 7、△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则AB2+AC+BC=（ ）

A．10 B.15 C.30 D.50

8、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长（ ） 1 A、120 B、121 C、132 D、123

22

9、一个三角形的三边分别是m+1,2m,m-1,则此三角形是（ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

10、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A．25 B．14 C．7 D．7或25

22二、解答题 1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，求水池的深度AC. 12、如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FBAB，那么△DEF是4直角三角形吗？为什么？ 3、如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F。①求CE的长；②求折痕AE的长和重叠部分△AEF的面积 4、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

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1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

5、如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.

6、变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°， 试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由.

7、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

8、变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

9、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）

10、变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

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2221.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

11.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高.

12.如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

小河

北

A 牧童 东

B 小屋

13、如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证：AB2AP2PB•PC A

14、在正方形ABCD中，E是AD的三等分点，

B P

C

DF2=，BE与EF垂直吗？请说明理由。 FC7

15v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

15、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为BC=6m,AC=8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。．（图2，图3备用）

16、请阅读下列材料： 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 2 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x=5，解得x= 5。由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）

17、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕。若AB=9，BC=3,。 （1）求BF的长 （2）求EF的长

18、如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AN=AC，BM=BC，求MN的长度

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1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

19、如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，求DE的长

222BPAPBCC90AMCMMPAB20、如图，已知：，，于P．求证： ．

P

CA M

21、探索与研究

（方法1）如图：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；

（方法2）如图是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

222

22、已知△ABC中，a＋b＋c＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

23．已知a、b、c是△ABC的三边，且ac－bc＝a－b，试判断三角形的形状．

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22

22

4

4

B1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

24、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

25、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

26、已知：正方形ABCD的边长为1，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE=a,AF=b,且

S正方形EFGH2。求：ba的值。 3AED

H

F

B

G

C

27、在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF。 （1）说明：BE2CF2EF2 )若BE=12,CF=5，试求DEF的面积。

28、如图，长方形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm.

⑴若点P是边AD上的一个动点,当P在什么位置时PA=PC?

4BAEFDC⑵在⑴中,当点P在点P＇时，有P'AP'C，Q是AB边上的一个动点,若AQ15时, QP' 与P'C垂直吗？为什么？

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A D

B C

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

29、已知：如图，DE=m,BC=n,EBC与DCB互余，求BD+CE的值

E D

C B

30、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

31、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

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（新工艺、新装置、新技术、新产品） 培训主题 培训日期 主办部门 培训主要内容 1． 新工艺、新装置、新技术、新产品的特性； 2． 工艺技术要求、注意事项； 3． 存在的风险及防范措施； 4． 工艺规程、设备、岗位安全操作规程及事故应急处理； 5． 实操培训。 主讲人 培训地点 课 时 培训人数 19v

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3 参加培训人员签名 培训效果

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