第一章 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若p,则q”形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论. 3、原命题:“若p,则q” 逆命题: “若q,则p” 否命题:“若p,则q” 逆否命题:“若q,则p” 4、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 若pq,则p是q的充要条件(充分必要条件).
利用集合间的包含关系: 例如:若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;
6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式pq;⑵或(or):命题形式pq; ⑶非(not):命题形式p.
pq pq p q p 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 真 假 假 假 真 真 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“”表示;
全称命题p:xM,p(x); 全称命题p的否定p:xM,p(x)。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“”表示;
特称命题p:xM,p(x); 特称命题p的否定p:xM,p(x);
第二章 圆锥曲线与方程
1、平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆. 即:|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y21ab0 a2b2y2x21ab0 a2b2范围 axa且byb bxb且aya 1a,0、2a,0 顶点 10,a、20,a 1b,0、2b,0 10,b、20,b 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 短轴的长2b 长轴的长2a F1c,0、F2c,0 F10,c、F20,c F1F22cc2a2b2 关于x轴、y轴、原点对称 cb2e120e1 aa3、平面内与两个定点F)的点的轨迹称为双曲线.即:1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
4、双曲线的几何性质: 焦点在y轴上 焦点的位置 焦点在x轴上 图形 标准方程 x2y21a0,b0 a2b2xa或xa,yR y2x21a0,b0 a2b2ya或ya,xR 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 1a,0、2a,0 F1c,0、F2c,0 10,a、20,a F10,c、F20,c 虚轴的长2b 实轴的长2a F1F22cc2a2b2 关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称 cb2e12e1 aaybx ayax b渐近线方程 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线. 7、抛物线的几何性质: y22px 标准方程 y22px x22py x22py p0 图形 顶点 p0 p0 p0 0,0 x轴 pF,0 2xp 2对称轴 y轴 pF0, 2yp 2焦点 pF,0 2xp 2pF0, 2yp 2准线方程 离心率 e1 范围 x0 x0 y0 y0 8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即 2p.9、焦半径公式:
p; 2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上,焦点为F,则Fy0;
22若点x0,y0在抛物线y2pxp0上,焦点为F,则Fx0
第三章 导数及其应用
1、函数fx从x1到x2的平均变化率:
fx2fx1
x2x1xx02、导数定义:fx在点x0处的导数记作yf(x0)limx0f(x0x)f(x0);.
x3、函数yfx在点x0处的导数的几何意义是曲线4、常见函数的导数公式:
yfx在点
x0,fx0处的切线的斜率.
'n'n1''①C0;②(x)nx; ③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;
⑤(ax)'axlna;⑥(ex)'ex; ⑦(logax)5、导数运算法则:
'11';⑧(lnx) xlnax1 fxgxfxgx;
fxgxfxgxfxgx; 2 fxfxgxfxgxgx023gxgx.
6、在某个区间a,b内,若fx0,则函数yfx在这个区间内单调递增;
若fx0,则函数yfx在这个区间内单调递减.
7、求函数yfx的极值的方法是:解方程fx0.当fx00时:
1如果在x0附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极大值; 2如果在x0附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极小值.
8、求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤是:
1求函数yfx在a,b内的极值;
2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa,fb比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是
最小值.
9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。
选修1-2数学知识点 第一章 统计案例
1.线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:ybxa(最小二乘法)
nxiyinxyi1bn2 注意:线性回归直线经过定点(x,y)。 2xnxii1aybx2.相关系数(判定两个变量线性相关性):r(xi1nix)(yiy)n(xi1n
ix)2(yiy)2i1注:⑴r>0时,变量x,y正相关;r <0时,变量x,y负相关;
⑵①|r| 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②|r| 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和:
(yi1niy)⑵残差:eiyiyi;⑶残差平方和:(yiyi)2 ;⑷回归平方和:
2i1n22R1-;⑸相关指数(yy)(yiyi)in2n(y(yi1i1nniyi)2 。
i1i1iyi)2注:①R得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;
②R越接近于1,,则回归效果越好。 4.性检验(分类变量关系):
随机变量K越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
222第二章 推理与证明
一.推理:
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。
①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明 ⑴综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明------反证法
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。
第三章 复数
1.概念:
(1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z=z z2≥0; (2) z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+z=0(z≠0)z2<0; (4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i;
(2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; (3) z1÷z2 =
(abi)(cdi)bdbcad (z≠0) ; aci22(cdi)(cdi)cd2c2d23.几个重要的结论:
(1) (1i)22i;⑷1ii;1ii;
1i1i(2) i性质:T=4;i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i;i4ni4n1i42i4n30; (3) z1zz1z4.运算律:(1)zm1。 zmmznzmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1z2)mz1z2(m,nN);
z1z)1 ;⑷ zz。 z2z2z1|z1|nn;⑷|z||z|; |z2|z2|5.共轭的性质:⑴(z1z2)z1z2 ;⑵z1z2z1z2 ;⑶(6.模的性质:⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|;⑵|z1z2||z1||z2|;⑶|
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