2021年浙江省杭州市中考数学真题试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．﹣（﹣2021）＝（ ） A．﹣2021

B．2021

C．﹣

D．

2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ） A．0.10909×105 C．10.909×103

3．因式分解：1﹣4y2＝（ ） A．（1﹣2y）（1+2y） C．（1﹣2y）（2+y）

B．（2﹣y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y） B．1.0909×104 D．109.09×102

4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）

A．PT≥2PQ

B．PT≤2PQ

C．PT≥PQ

D．PT≤PQ

5．下列计算正确的是（ ） A．

＝2

B．

＝﹣2

C．

＝±2

D．

＝±2

6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ） A．60.5（1﹣x）＝25 C．60.5（1+x）＝25

B．25（1﹣x）＝60.5 D．25（1+x）＝60.5

7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）

A．

B．

C．

D．

9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）

A．1：

B．1：2

C．1：

D．1：

10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）计算：sin30°＝ ． 12．（4分）计算：2a+3a＝ ．

13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝ ．

B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1

14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．

单价（元/千克）

千克数

甲种糖果 30 2

乙种糖果 20 3

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 元/千克．

15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．

16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 度．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17．（6分）以下是圆圆解不等式组解：由①，得2+x＞﹣1， 所以x＞﹣3． 由②，得1﹣x＞2， 所以﹣x＞1， 所以x＞﹣1．

所以原不等式组的解集是x＞﹣1．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．

某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表

组别（次） 100～130 130～160 160～190 190～220

（1）求a的值；

频数 48 96 a 72

的解答过程：

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的

图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B． （1）若点B的坐标为（﹣1，2）， ①求k1，k2的值；

②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围； （2）若点B在函数y3＝

（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．

（1）求证：AB＝BD；

（2）若AE＝3，求△ABC的面积．

22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．

（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．

23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG． （1）求证：△ABG∽△AFC．

（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．

（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

2021年浙江省杭州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．﹣（﹣2021）＝（ ） A．﹣2021

B．2021

C．﹣

D．

【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：﹣（﹣2021）＝2021． 故选：B．

2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ） A．0.10909×105 C．10.909×103

B．1.0909×104 D．109.09×102

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：10909＝1.0909×104． 故选：B．

3．因式分解：1﹣4y2＝（ ） A．（1﹣2y）（1+2y） C．（1﹣2y）（2+y）

B．（2﹣y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：1﹣4y2 ＝1﹣（2y)2

＝（1﹣2y）（1+2y）． 故选：A．

4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）

A．PT≥2PQ

B．PT≤2PQ

C．PT≥PQ

D．PT≤PQ

【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论． 【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT， ∴PT≥PQ， 故选：C．

5．下列计算正确的是（ ）

A．＝2 B．＝2，

＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2

【分析】求出【解答】解：A．B．C．D．故选：A．

＝2，再逐个判断即可．

＝2，故本选项符合题意；

＝2，故本选项不符合题意； ＝2，故本选项不符合题意；

＝2，故本选项不符合题意；

6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ） A．60.5（1﹣x）＝25 C．60.5（1+x）＝25

B．25（1﹣x）＝60.5 D．25（1+x）＝60.5

【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25（1+x），进而得出答案． 【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则 25（1+x）＝60.5． 故选：D．

7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C， 画树状图如图：

共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种， ∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝， 故选：C．

8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）

A． B． C． D．

【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．

【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0； A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0； B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0； A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；

即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可． 设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1， 把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，

，

解得a1＝；

设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c， 把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，

，

解得a＝， 即a最大的值为， 故选：A．

9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）

A．1：

B．1：2

C．1：

D．1：

【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE，再结合等腰直角三角形的性质表示出AE，AP的长，即可得出答案．

【解答】解：∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAB＝×90°＝45°， ∵EP⊥AB， ∴∠APE＝90°， ∴∠EAP＝∠AEP＝45°， ∴AP＝PE， ∴设AP＝PE＝x， 故AE＝AB＝∴AP：AB＝x：故选：D．

10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1

B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1

x， x＝1：

．

【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P． 【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝符合题意；

B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； C．令y1+y2＝0，则﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； D．令y1+y2＝0，则﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； 故选：A．

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）计算：sin30°＝

．

或x＝

，即函数y1和y2具有性质P，

【分析】根据sin30°＝直接解答即可． 【解答】解：sin30°＝． 12．（4分）计算：2a+3a＝ 5a ．

【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解． 【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．

13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝

．

【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度． 【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点， ∴OT⊥PT，

在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2， ∴PT＝故：PT＝

．

＝

＝

，

14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．

单价（元/千克）

千克数

甲种糖果 30 2

乙种糖果 20 3

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 24 元/千克．

【分析】将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可． 【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（30×2+20×3）÷5＝24（元/千克）． 故答案为：24．

15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC ＝ ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．

【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系． 【解答】解：连接DE，

由上图可知AB＝2，BC＝2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 又∵AE＝同理可得DE＝AD＝

＝

， ＝＝

， ＝

，

则在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝45°， ∴∠BAC＝∠DAE， 故答案为：＝．

16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 18 度．

【分析】连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA，∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC，可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，可得FM＝FD，进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得． 【解答】解：连接DM，如图：

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°． ∵M是AC的中点，

∴DM＝AM＝CM，

∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD． ∵DC，DF关于DE对称， ∴DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF．

∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC， ∴MF＝FD． ∴∠FMD＝∠FDM． ∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM， ∴∠DFC＝2∠FMD． ∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM， ∴∠DMC＝2∠FAD．

设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°， ∴∠MCD＝∠MDC＝4x°． ∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°， ∴2x+4x+4x＝180． ∴x＝18． 故答案为：18．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17．（6分）以下是圆圆解不等式组解：由①，得2+x＞﹣1， 所以x＞﹣3． 由②，得1﹣x＞2， 所以﹣x＞1， 所以x＞﹣1．

所以原不等式组的解集是x＞﹣1．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：圆圆的解答过程有错误， 正确过程如下：由①得2+2x＞﹣1， ∴2x＞﹣3， ∴x＞﹣， 由②得1﹣x＜2， ∴﹣x＜1， ∴x＞﹣1，

的解答过程：

∴不等式组的解集为x＞﹣1．

18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．

某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表

组别（次） 100～130 130～160 160～190 190～220

（1）求a的值；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

频数 48 96 a 72

【分析】（1）用360减去第1、2、4组的频数和即可； （2）根据以上所求结果即可补全图形；

（3）用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案． 【解答】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144； （2）补全频数分布直方图如下：

（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为

×100%＝20%．

19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 ①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC） ，求证：BE＝CD．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

【分析】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；

选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD； 选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD．

【解答】证明：选择条件①的证明为： ∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD；

选择条件②的证明为： ∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴BE＝CD；

选择条件③的证明为： ∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，

∵FB＝FC， ∴∠FBC＝∠FCB，

∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB， 即∠ABE＝∠ACD， 在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴BE＝CD．

故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC） 20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝

（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的

图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B． （1）若点B的坐标为（﹣1，2）， ①求k1，k2的值；

②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围； （2）若点B在函数y3＝

（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．

【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y1＝是常数，k2≠0）即可求得k1，k2的值； ②根据图象即可求得；

（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），根据待定系数法即可求得k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，即可求得k1+k3＝0．

【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2）， ∵函数y1＝∴2＝

（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，

（k1是常数，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2

，2＝k2，

∴k1＝2，k2＝2；

②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1；

（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），

∴k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y， ∴k1+k3＝0．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．

（1）求证：AB＝BD；

（2）若AE＝3，求△ABC的面积．

【分析】（1）计算出∠ADB和∠BAC，利用等角对等边即可证明； （2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵∠C＝45°，

∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°， ∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°， ∴∠BAC＝∠ADB， ∴AB＝BD；

（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3， ∴BE＝

＝

，

在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3， ∴EC＝∴BC＝3+

＝3， ，

．

∴S△ABC＝BC×AE＝

22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．

（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．

【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；

（3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．

【解答】解：（1）由题意，得解得

，

，

所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1． 并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）． （2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1， ∵b2﹣4ac＝5＞0，

∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点． （3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1， 所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1 ＝p2+q2+4 ＝（2﹣q）2+q2+4 ＝2（q﹣1）2+6≥6，

由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．

23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG． （1）求证：△ABG∽△AFC．

（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．

（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC； （2）由（1）知

＝

，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；

（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD． 【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC， ∴∠BAG＝∠FAC， 又∵∠G＝∠C， ∴△ABG∽△AFC；

（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC， ∴

＝

，

∵AC＝AF＝b， ∴AB＝AG＝a， ∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；

（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG， ∴∠BAG＝∠CBG， ∵∠ABD＝∠CBE，

∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG， 又∵∠DGB＝∠BGE， ∴△DGB∽△BGE， ∴

＝

，

BG2＝GE•GD．

∴