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热力学基础计算题_答案解析

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《热力学基础》计算题答案全

1. 温度为25℃、压强为1 atm的1 mol刚性双原子分子理想气体,经等温过程体积膨胀至原来的3倍. (普适气体常量R=8.31 JmolK,ln 3=1.0986)

(1) 计算这个过程中气体对外所作的功.

(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍,那么气体对外作的功又是多少? 解:(1) 等温过程气体对外作功为

3V03V011 WV0pdVV0RTdVRTln3 2分 V3

=8.31×298×1.0986 J = 2.72×10 J 2分

(2) 绝热过程气体对外作功为

3V0 WV0pdVpVV00V03

3V0dV

311131p0V0RT 2分 11 =2.20×10 J 2分

2.一定量的单原子分子理想气体,从初态A出

p (105 Pa) 发,沿图示直线过程变到另一状态B,又经过等

容、等压两过程回到状态A. B (1) 求A→B,B→C,C→A各过程中系统对3 外所作的功W,内能的增量E以及所吸收的热

2 量Q. (2) 整个循环过程中系统对外所作的总功A C 1 以及从外界吸收的总热量(过程吸热的代数和). 33V (10 m) 解:(1) A→B: O 1W1(pBpA)(VBVA)=200 J.

2V 1 2

ΔE1=(TB-TA)=3(pBVB-pAVA) /2=750 J Q=W1+ΔE1=950 J. 3分

B→C: W2 =0

ΔE2 =CV (TC-TB)=3( pCVC-pBVB ) /2 =-600 J.

Q2 =W2+ΔE2=-600 J. 2分

C→A: W3 = pA (VA-VC)=-100 J. E3CV(TATC)3(pAVApCVC)150 J. 2 Q3 =W3+ΔE3=-250 J 3分

(2) W= W1 +W2 +W3=100 J.

Q= Q1 +Q2 +Q3 =100 J 2分

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3. 0.02 kg的氦气(视为理想气体),温度由17℃升为27℃.若在升温过程中,(1) 体积保持不变;(2) 压强保持不变;(3) 不与外界交换热量;试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体所作的功.

(普适气体常量R =8.31 JmolK)

解:氦气为单原子分子理想气体,i3 (1) 等体过程,V=常量,W =0

据 Q=E+W 可知

QE11MCV(T2T1)=623 J 3分 Mmol (2) 定压过程,p = 常量, QMCp(T2T1)=1.04×103 J Mmol E与(1) 相同.

W = Q E=417 J 4分

(3) Q =0,E与(1) 同

W = 623 J (负号表示外界作功) 3分

4. 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的汽缸里.此汽缸有可活动的活塞(活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气).已知气体的初压强p1=1atm,体积V1=1L,现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍,然后在等体积下加热直到压强为原来的2倍,最后作绝热膨胀,直到温度下降到初温为止, (1) 在p-V图上将整个过程表示出来.

(2) 试求在整个过程中气体内能的改变.

5

(3) 试求在整个过程中气体所吸收的热量.(1 atm=1.013×10 Pa)

(4) 试求在整个过程中气体所作的功. 解:(1) p-V图如右图. 2分 p (atm) (2) T4=T1E=0 2分

(3)

(4) W=Q=5.6×10 J 2分 O 1

5.1 mol双原子分子理想气体从状态A(p1,V1)沿p V图p所示直线变化到状态B(p2,V2),试求: 2

MMCp(T2T1)CV(T3T2) MmolMmol53 p1(2V1V1)[2V1(2p1p1)]

2211 p1V1=5.6×102 J 4分

2Q2 1 T1 T3 T2 T4 V (L)

2 (1) 气体的内能增量. (2) 气体对外界所作的功. (3) 气体吸收的热量.

(4) 此过程的摩尔热容.

(摩尔热容C =Q/T,其中Q表示1 mol物质在过程中升高温度T时所吸收的热量.)

p2p1OABV1V2V

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解:(1) ECV(T2T1) (2) W5(p2V2p1V1) 2分 2

1(p1p2)(V2V1), 21(p2V2p1V1). 3分 2W为梯形面积,根据相似三角形有p1V2= p2V1,则

W (3) Q =ΔE+W=3( p2V2-p1V1 ). 2分

(4) 以上计算对于A→B过程中任一微小状态变化均成立,故过程中

ΔQ =3Δ(pV). 由状态方程得 Δ(pV) =RΔT, 故 ΔQ =3RΔT,

摩尔热容 C=ΔQ/ΔT=3R. 3分

6. 有1 mol刚性多原子分子的理想气体,原来的压强为1.0 atm,温度为27℃,若经过一绝热过程,使其压强增加到16 atm.试求:

(1) 气体内能的增量; (2) 在该过程中气体所作的功; (3) 终态时,气体的分子数密度.

5-23-1-1-1

( 1 atm= 1.013×10 Pa, 玻尔兹曼常量k=1.38×10 J·K,普适气体常量R=8.31 J·mol·K )

解:(1) ∵ 刚性多原子分子 i = 6,i24/3 1分 i1∴ T2T1(p2/p1) E(M/Mmol)

600 K 2分

(2) ∵绝热 W =-ΔE =-7.48×10J (外界对气体作功) 2分

(3) ∵ p2 = n kT2

263

∴ n = p2 /(kT2 )=1.96×10 个/m 3分

3

1iR(T2T1)7.48103 J 2分 2

7. 如果一定量的理想气体,其体积和压强依照Va/p的规律变化,其中a为已知

常量.试求:

(1) 气体从体积V1膨胀到V2所作的功;

(2) 气体体积为V1时的温度T1与体积为V2时的温度T2之比.

22

解:(1) dW = pdV = (a /V)dV

WdWV2V1(a2/V2)dVa2(11) 2分 V1V2 (2) ∵ p1V1 /T1 = p2V2 /T2 ∴ T1/ T2 = p1V1 / (p2V2 )

由 V1a/p1,V2a/p2

2

得 p1 / p2= (V2 /V1 )

2

∴ T1/ T2 = (V2 /V1 ) (V1 /V2) = V2 /V1 3分

8. 汽缸内有一种刚性双原子分子的理想气体,若经过准静态绝热膨胀后气体的压强减少

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了一半,则变化前后气体的内能之比 E1∶E2=?

1iRT, pV(M/Mmol)RT 2分 21得 EipV

211变化前 E1ip1V1, 变化后E2ip2V2 2分

22绝热过程 p1V1p2V2

即 (V1/V2)p2/p1 3分

11题设 p2p1, 则 (V1/V2)

2211/即 V1/V2()

2解:据 E(M/Mmol)

11111/1.22 3分 ∴ E1/E2ip1V1/(ip2V2)2()2222

1

9. 2 mol氢气(视为理想气体)开始时处于标准状态,后经等温过程从外界吸取了 400 J的热量,达到末态.求末态的压强.

-2-1

(普适气体常量R=8.31J·mol·K)

解:在等温过程中, ΔT = 0 Q = (M/Mmol) RT ln(V2/V1) 得

lnVV21Q0.0882

(M/Mmol)RT即 V2 /V1=1.09 3分 末态压强 p2 = (V1 /V2) p1=0.92 atm 2分

10. 为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功2 J,必须传给气体多少热量?

解:等压过程 W= pΔV=(M /Mmol)RΔT 1分

11iRTiW 1分 22双原子分子 i5 1分

1∴ QEWiWW7 J 2分

2 E(M/Mmal)

11.两端封闭的水平气缸,被一可动活塞平分为左右两室,每室体积均为V0,其中盛有温度相同、压强均为p0的同种

外力理想气体.现保持气体温度不变,用外力缓慢移动活塞(忽

略磨擦),使左室气体的体积膨胀为右室的2倍,问外力必须作多少功? 为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作

功2 J,必须传给气体多少热量? 解:设左、右两室中气体在等温过程中对外作功分别用W1、W2表示,外力作功用W′表示.由

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题知气缸总体积为2V0,左右两室气体初态体积均为V0,末态体积各为4V0/3和2V0/3 . 1分

据等温过程理想气体做功: W=(M /Mmol )RT ln(V2 /V1) 得 W1p0V0ln4V04p0V0ln 3V032V02p0V0ln 2分 3V03得 W2p0V0ln

现活塞缓慢移动,作用于活塞两边的力应相等,则

W’+W1=-W2

WW1W2p0V0(ln429ln)p0V0ln 2分 338

12.一定量的理想气体,从A态出发,经p-V图中所示的过5 p (10 Pa)程到达B态,试求在这过程中,该气体吸收的热量. . AC4 2DB1

解:由图可得 O2 58V (m3)5

A态: pAVA 8×10 J

B态: pBVB 8×105 J

∵ pAVApBVB,根据理想气体状态方程可知

TATBE = 0 3分

根据热力学第一定律得:

6 QWpA(VCVA)pB(VBVD)1.510 J 2分

13. 如图,体积为30L的圆柱形容器内,有一能上下自由滑动

活塞 的活塞(活塞的质量和厚度可忽略),容器内盛有1摩尔、温度为127℃的单原子分子理想气体.若容器外大气压强为1标

准大气压,气温为27℃,求当容器内气体与周围达到平衡时需向外放热多少?(普适气体常量 R = 8.31 J·mol-1·K-1)

解:开始时气体体积与温度分别为 V1 =30×10 m,T1=127+273=400 K

5

∴气体的压强为 p1=RT1/V1 =1.108×10 Pa

5

大气压p0=1.013×10 Pa, p1>p0

可见,气体的降温过程分为两个阶段:第一个阶段等体降温,直至气体压强p2 = p0,此时温

度为T2,放热Q1;第二个阶段等压降温,直至温度T3= T0=27+273 =300 K,放热Q2 (1) Q1CV(T1T2)-3

3

3R(T1T2) 2 T2(p2/p1)T1365.7 K

∴ Q1= 428 J 5分

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(2) Q2Cp(T2T3)∴ 总计放热 Q = Q1 + Q2 = 1.79×10 J 5分

3

5R(T2T3)=1365 J 2

14.一定量的理想气体,由状态a经b到达c.(如图,

p (atm) abc为一直线)求此过程中 a (1) 气体对外作的功; (2) 气体内能的增量;

5

3 c (3) 气体吸收的热量.(1 atm=1.013×10 Pa)

V (L) 解:(1) 气体对外作的功等于线段ac下所围的面积 0 51 2 3 W=(1/2)×(1+3)×1.013×10×2×10 J=405.2 J

3分

(2) 由图看出 PaVa=PcVc ∴Ta=Tc 2分 内能增量 E0. 2分 (3) 由热力学第一定律得

Q=E +W=405.2 J. 3分

2 1 b

15. 一定量的理想气体在标准状态下体积为 1.0×10 m3,求下列过程中气体吸收的热

量:

3

(1) 等温膨胀到体积为 2.0×10 m; (2) 先等体冷却,再等压膨胀到 (1) 中所到达的终态.

5

已知1 atm= 1.013×10 Pa,并设气体的CV = 5R / 2. 解:(1) 如图,在A→B的等温过程中,ET0, 1分 p V2V2∴ QTWT5

V1pdVV1p1V1A dVp1V1ln(V2/V1) 3分 p1 V3

3

将p1=1.013×10 Pa,V1=1.0×10 m和V2=2.0×10 m 2

p2 B 代入上式,得 QT≈7.02×10J 1分

C (2) A→C等体和C→B等压过程中 V ∵A、B两态温度相同,∴ ΔEABC = 0 V V2 1 ∴ QACB=WACB=WCB=P2(V2-V1)

3分

又 p2=(V1/V2)p1=0.5 atm 1分

52

∴ QACB =0.5×1.013×10×(2.0-1.0)×10 J≈5.07×10J 1分

等温

16. 将1 mol理想气体等压加热,使其温度升高72 K,传给它的热量等于1.60×103 J,

求:

(1) 气体所作的功W; (2) 气体内能的增量E; (3) 比热容比.

(普适气体常量R8.31JmolK)

解:(1) WpVRT598 J 2分

11 学习指导参考资料

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QW1.00103 J 1分 Q (3) Cp22.2Jmol1K1

T CVCpR13.9Jmol1K1

(2)

E 

CpCV1.6 2分

17. 一定量的某种理想气体,开始时处于压强、体积、温度分别为p0=1.2×106 Pa,

V0=8.31×10-3m3,T0 =300 K的初态,后经过一等体过程,温度升高到T1 =450 K,再经过一等温过程,压强降到p = p0的末态.已知该理想气体的等压摩尔热容与等体摩尔热容之比Cp / CV =5/3.求:

(1) 该理想气体的等压摩尔热容Cp和等体摩尔热容CV.

(2) 气体从始态变到末态的全过程中从外界吸收的热量.

-1-1

(普适气体常量R = 8.31 J·mol·K)

5 和 CpCVR

CV353可解得 CpR 和 CVR 2分

22pV (2) 该理想气体的摩尔数 004 mol

RT0解:(1) 由

Cp在全过程中气体内能的改变量为 △E=全过程中气体对外作的功为 WRT1lnV(T1-T2)=7.48×10 J 2分

3

p1 p0T16.06103 J. 2分 T04

式中 p1 ∕p0=T1 ∕T0

则 WRT1ln全过程中气体从外界吸的热量为 Q = △E+W =1.35×10 J . 2分

p18.如图所示,AB、DC是绝热过程,CEA是等温过程,BEDD是任意过程,组成一个循环。若图中EDCE所包围的面积为AE70 J,EABE所包围的面积为30 J,过程中系统放热100 J,C求BED过程中系统吸热为多少? BVO解:正循环EDCE包围的面积为70 J,表示系统对外作正功

70 J;EABE的面积为30 J,因图中表示为逆循环,故系统对外作负功,所以整个循环过程系统对外

作功为: W=70+(-30)=40 J 1

设CEA过程中吸热Q1,BED过程中吸热Q2 ,由热一律,

W =Q1+ Q2 =40 J 2

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Q2 = W -Q1 =40-(-100)=140 J

BED过程中系统从外界吸收140焦耳热. 2

19. 1 mol理想气体在T1 = 400 K的高温热源与T2 = 300 K的低温热源间作卡诺循环(可逆的),在400 K的等温线上起始体积为V1 = 0.001 m3,终止体积为

V2 = 0.005 m3,试求此气体在每一循环中

(1) 从高温热源吸收的热量Q1 (2) 气体所作的净功W (3) 气体传给低温热源的热量Q2

解:(1) Q1RT1ln(V2/V1)5.35103 J 3

T(2) 120.25.

T1

WQ11.34103 J 4

(3) Q2Q1W4.01103 J

3分

20.一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过

p (Pa)程.已知气体在状态A的温度为TA=300 K,求 (1) 气体在状态B、C的温度; A300 (2) 各过程中气体对外所作的功; (3) 经过整个循环过程,气体从外界吸收的总热量200(各过程吸热的代数和). CB1003解:由图,pA=300 Pa,pB = pC =100 Pa;VA=VC=1 m,VB =3 3

V (m3)m. O23 (1) C→A为等体过程,据方程pA/TA= pC /TC 1

TC = TA pC / pA =100

K. 2分

B→C为等压过程,据方程VB/TB=VC/TC得

TB=TCVB/VC=300 K. 2分

(2) 各过程中气体所作的功分别为

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A→B: W11(pApB)(VBVC)=400 J. 2 B→C: W2 = pB (VC-VB .

C→A: W3 =0 3分

(3) 整个循环过程中气体所作总功为

W= W1 +W2 +W3 =200 J.

因为循环过程气体内能增量为ΔE=0,因此该循环中气体总吸热

Q =W+ΔE =200 J. 3分

p (atm)21.1 mol 氦气作如图所示的可逆循环过 pcc程,其中ab和cd是绝热过程, bc和da pbb pdd为等体过程,已知 V1 = 16.4 L,V2 = 32.8 paaL,pa = 1 atm,pb = 3.18 atm,pc = 4 atm,

OV (L)V

1V2pd = 1.26 atm,试求:

(1)在各态氦气的温度. (2)在态氦气的内能.

(3)在一循环过程中氦气所作的净功.

(1 atm = 1.013×105 Pa)

(普适气体常量R = 8.31 J· mol1· K1)

解:(1) Ta = paV2/R=400 K Tb = pbV1/R=636 K Tc = pcV1/R=800 K

Td = pdV2/R=504 K 4 (2) c3

E =(i/2)RTc=9.97×10 J 2 (3) b-c等体吸热

Q=CV(TcTb)=2.044×103

1 J 1 d-a等体放热

Q=1.296×103

2=CV(TdTa) J 1 W=Q3

1Q2=0.748×10 J 2

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22.比热容比=1.40的理想气体进行如图所示的

p(Pa) 循环.已知状态A的温度为300 K.求: (1) 状态B、C的温度; (2) 每一过程中气体所吸收的净热量. A 400 11300 (普适气体常量R=8.31 JmolK) 200

100 C 解:由图得 pA=400 Pa, pB=pCO 2 4 =100 Pa,

B 6 V(m3) 33

VA=VB=2 m,VC=6 m. (1) C→A为等体过程,据方程pA /TA = pC /TC

TC = TA pC / pA =75 K 1分

B→C为等压过程,据方程 VB /TB =VC TC

TB = TC VB / VC =225 K 1分 (2) 根据理想气体状态方程求出气体的物质的量(即摩尔数)为

pA VARTA 由=1.4知该气体为双原子分子气体,CV57R,CPR 22725C→A等体过程吸热 Q3R(TATC)1500 J. 2分

2B→C等压过程吸热 Q2R(TCTB)1400 J. 2分

ΔE =0,整个循环过程净吸热

QW1(pApC)(VBVC)600 J. 2∴ A→B过程净吸热: Q1=Q-Q2-Q3=500 J 4分

23. 一卡诺热机(可逆的),当高温热源的温度为 127℃、低温热源温度为27℃时,其每次循环对外作净功8000 J.今维持低温热源的温度不变,提高高温热源温度,使其每次循

环对外作净功 10000 J.若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间,试求: (1) 第二个循环的热机效率;

(2) 第二个循环的高温热源的温度. 解:(1) 

WQ1Q2T1T2 Q1Q1T1T1QT 且 22

T1T2Q1T1 Q1W∴ Q2 = T2 Q1 /T1

T1TT22W=24000 J 4分

T1T2T1T1T2WQ2WQ2 ( ∵ Q2Q2) 3分 由于第二循环吸热 Q129.4% 1分 W/Q1T2425 K 2分 (2) T11即 Q2

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24.气缸内贮有36 g水蒸汽(视为刚性分子理

p (atm) 想气体),经abcda循环过程如图所示.其中a-b、c-d为等体过程,b-c为等温过程,d-a为等压过程.试求: 6 b (1) d-a 过程中水蒸气作的功Wda (2) a-b 过程中水蒸气内能的增量(3) 循环过程水蒸汽作的净功W

ab

2 c a d (4) 循环效率 V (L) O 50 25 (注:循环效率=W/Q1,W为循环过程水

蒸汽对外作的净功,Q1为循环过程水蒸汽吸收

5

的热量,1 atm= 1.013×10 Pa)

-3

解:水蒸汽的质量M=36×10 kg

-3

水蒸汽的摩尔质量Mmol=18×10 kg,i = 6

3

(1) Wda= pa(Va-Vd)=-5.065×10 J 2分

(2) ΔEab=(M/Mmol )(i/2)R(Tb-Ta)

=(i/2)Va(pb- pa)

4

=3.039×10 J 2分 (3) TbpbVa914 K

(M/Mmol)R4

Wbc= (M /Mmol )RTbln(Vc /Vb) =1.05×10 J

3

净功 W=Wbc+Wda=5.47×10 J 3分

4

(4) Q1=Qab+Qbc=ΔEab+Wbc =4.09×10 J

η=W/ Q1=13% 3分

25.1 mol的理想气体,完成了由两个等体过程和两个等压过程构成的

p循环过程(如图),已知状态1的温度为T1,状态3的温度为T3,且状

态2和4在同一条等温线上.试求气体在这一循环过程中作的功. 32

解:设状态“2”和“4”的温度为T

41 WW41W23R(T3T)R(T1T)

VO R(TT)2RT 132分

∵ p1 = p4,p2 = p3,V1 = V2,V3 = V4

而 p1V1RT1,p3V3RT3,p2V2RT,p4V4RT

2∴ T1T3p1V1p3V3/R,

Tp2V2p4V4/R . 得 T222T1T3,即 T(T1T3)1/2

3分

1/2∴ WR[T1T32(T1T3)]

26. 一卡诺循环的热机,高温热源温度是 400 K.每一循环从此热源吸进 100 J热量并向一低温热源放出80 J热量.求:

(1) 低温热源温度;

(2) 这循环的热机效率.

解:(1) 对卡诺循环有: T1 / T2 = Q1 /Q2

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∴ T2 = T1Q2 /Q1 = 320 K

即:低温热源的温度为 320 K. 3分

(2) 热机效率: 1Q220% 2分 Q1

27.如图所示,有一定量的理想气体,从初状态a(p1,V1)开始,经

p过一个等体过程达到压强为p1/4的b态,再经过一个等压过程达到状态c,最后经等温过程而完成一个循环.求该循环过程中系

p1a统对外作的功W和所吸的热量Q.

p1/4cb解:设c状态的体积为V2,则由于a,c两状态的温度相同,p1V1=

VV1p1V2 /4

故 V2 = 4 V1

2分

循环过程 ΔE = 0 , Q =W . 而在a→b等体过程中功 W1= 0. 在b→c等压过程中功

W2 =p1(V2-V1) /4 = p1(4V1-V1)/4=3 p1V1/4 2分

在c→a等温过程中功

W3 =p1 V1 ln (V2/V1) = p1V1ln 4 2分 ∴ W =W1 +W2 +W3 =[(3/4)-ln4] p1V1 1分

Q =W=[(3/4)-ln4] p1V1 3分

28.比热容比1.40的理想气体,进行如图所示的

p (Pa)ABCA循环,状态A的温度为300 K. (1) 求状态B、C的温度; A400 (2) 计算各过程中气体所吸收的热量、气体所作

的功和气体内能的增量. 300 (普适气体常量 R8.31JmolK) 200

解:(1) C→A等体过程有 pA /TA = pC /TC 100BCp∴ TCTA(c)75 K O246V (m3)pA1分

B→C等压过程有 VB /VB =VC / TC

∴ TBTC( (2) 气体的摩尔数为 11

VB)225 K 1分 VCpVMAA0.321 1分 MmolRTA由 γ=1.40 可知气体为双原子分子气体,

故 CV57R,CpR 1分 22C→A等体吸热过程 WCA =0

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QCA =ΔECA = v CV (TA-TC ) =1500 J 2分

B→C等压压缩过程 WBC =PB (VC-VB ) =-400 J

ΔEBC = v CV (TC-TB ) =-1000 J

QBC =ΔEBC + WBC =-1400 J 2分

A→B膨胀过程 WAB1(400100)(62)J1000 J 2 ΔEAB = v CV (TB-TA ) =-500 J

QAB =ΔEAB+ WAB =500 J 2分

29. 一气缸内盛有一定量的单原子理想气体.若绝热压缩使其体积减半,问气体分子的平均速率为原来的几倍?

解:设绝热压缩前气体的体积为V1,温度为T1;压缩后的体积为V2=V1 /2,温度为T2;气体的比热比为 由绝热方程得: V11T1V21T2

∴ T2=T1(V1/V2)γ-1=2γ-1T1 2分 设绝热压缩前后,气体分子的平均速率分别为 v1 和 v2, ∵ vT ∴ v2/ v1T2/T1

将关系式T2/ T1= 2γ-1 代入上式, 得 v2/ v12(1)/2 1分 单原子理想气体  =5/3≈1.67 , 1

故 v2/ v1≈1.26 1分

30. 一定量的氦气(理想气体),原来的压强为p1 =1 atm,温度为T1 = 300 K,若经过一绝热过程,使其压强增加到p2 = 32 atm.求:

(1) 末态时气体的温度T2. (2) 末态时气体分子数密度n.

-23 -15

(玻尔兹曼常量 k =1.38×10J·K, 1atm=1.013×10 Pa )

TC Tp(1)/有 2(2)

T1p1解:(1) 根据绝热过程方程 p∴ T2T1(1p2(1)/) p1氦为单原子分子,5/3

∴ T2=1200 K 3分

(2) n

p21.961026 m 2分 kT2 学习指导参考资料

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