梯形的性质与判别、中位线

一，等腰梯形的判别

例1：如图，在四边形ABCD中，已知AB不平行CD，AD∥BC，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出四边形ABCD是等腰梯形.

二，等腰梯形的性质

例1.如图1， 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论：①ABCDCB ，②OA=OD ，③BCDBDC，④SAOB=SDOC，其中正

确

的

是

（ ）。

例3.（2010 湖北咸宁）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC的长为（ ）

A．3 B．6 C．33 D．63

三，梯形中常作的辅助线 梯形中常作的辅助线（一） 例，梯形ABCD中，∠B=60°，∠C=45°，AD=3，DC=4.求梯形ABCD的面积.

梯形中常作的辅助线（二）

例：(1)以线段a=16，b=11为梯形的两底，c=10为一腰， 那么另一腰d的长度的范围是______ 。

(2)如图，已知:在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AD=4,BC=7,∠B＝60° .

则梯形ABCD的周长为_________.

梯形中常作的辅助线（三） 例：（1）、 梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD， 且AC=3cm,BD=4cm，求梯形ABCD的面积。 （2）、梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．

梯形中常作的辅助线（四）

四．中位线定理

A三角形中位线与梯形中位线

（一）三角形的中位线：

DE⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． CB区别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

F

（二）梯形的中位线

⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。 ⑵梯形中位线的性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

例1. （2009年重庆市江津区）在△ABC中，BC=10，B1 、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，

B1、B2、C1、C2分别是AB,AC的三等分点，在图③中

B1、B2、B9;C1、C2C9分别是AB、AC的10等分点，

则B1C1B2C2B9C9的值是 （ ） A. 30 B. 45 C.55 D.60

① ② ③

例2. （2009江苏）如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4平方厘米，则梯形ABCD的面积为 -------------平方厘米。

五．中点四边形

例1，（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.

(2)若使四边形EFGH为矩形、菱形、正方形，那么四边形ABCD的对角线应分别具有怎样的性质？

（3）四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积有什么数量关系？并说明理由。

（4）连接EG,FH,EG与FH相交于点O,试探索S四边形AEOH+S四边形FCGO与S四边形BFOE+S四边形DHOG数量关系.并说明理由。

例2.（2009湖北省荆门市）等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

例3. 2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为ABCD各边的中点为顶点作矩形

A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 a、b的代数式表示为 ．

DD1D3A2AA3A1B2B第20题图3B3B1D2C3C2CC1a、b，以菱形

六．综合题 例1.（2010 江苏连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；

（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；

（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

AAB

B

E

CDCD

图1

Q

图2

Q

例2．（2010江苏徐州）如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF

2

的面积为y cm．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

2

(1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm； (2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)；

(3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.