高中数学选修计数原理概率知识点总结

第一章基数原理

1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 N=m1+m2+……+mn 种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×……mn 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别:

如果完成一件事，有n类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能完成这件事,用分类计数原理，

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.

4.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

m（1）排列数: 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号An表示 mn(n1)(n2)(nm1) 用于计算， （2）排列数公式:Anm或An

n!n,mN,mn 用于证明。

(nm)!n=n!=nn1321=n(n-1)! 规定0！=1 An5.组合：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

（1）组合数: 从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，用Cn表示

m

Anmn(n1)(n2)L(nm1)（2）组合数公式: Cm 用于计算，

Amm!mn或Cmnn!(n,mN,且mn) 用于证明。

m!(nm)!（3）组合数的性质：

mnm0mmm1Cn1； ②Cn ①Cn．规定：Cn . 1＝Cn+Cnn11n③ CnCnn ④Cn1

6.二项式定理及其特例：

1n1（1）二项式定理abCn0anCnabCnranrbrCnnbnnN

n1,2,,n叫做二项式系数。 展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnrr0,（2）特例：.

7.二项展开式的通项公式： Tr1Cnranrbr （为展开式的第r+1项） 8．二项式系数的性质：

（1）对称性：在ab展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,

nmnmCn即Cn，直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值：当rn12时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的

后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当是偶数时，在中间一项Tn2的二项式系数取得最大值；

2当是奇数时，在中间两项Tn1，Tn3的二项式系数，取得最大值．

229.各二项式系数和： （1）

1Cn0CnCn2Cnn 2n，

（2）CnCnCnCnCnCn2024135n1．

10.各项系数之和：（采用赋值法）

例：求

2x3y9的各项系数之和

解：令x2x3y9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9

1,y1，则有2x3ya0a1a2a9231，

99故各项系数和为-1

第二章 概率

知识点：

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn X取每一个值 xi的概率p1，p2,..... , p i ,......, p n，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1，2，… n；② p1 + p2 +…+pn= 1． 5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中06、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为m时的概率为

mnmCMCNMP(Xm)(0ml,l为n和M中的较小的一个)， nCN7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫

做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率 8、公式：

P(B|A)P(AB),P(A)0.P(A)

9、相互事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件

叫做相互事件。P(B|A)P(B)

10、n次重复试验：在相同条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互，一

般就称它为n次重复试验

11、二项分布： 设在n次重复试验中某个事件A发生的次数设为X．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次重复试验中 ，事

kknk件A恰好发生k次的概率是P(Xk)Cnpq（其中 k=0,1, ……,n）

于是可得随机变量X的分布列如下：

这样的离散型随机变量X服从参数为n，p二项分布，记作X～B(n，p) 。 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为

则称E(X)x1p1x2p2Lxnpn为离散型随机变量X的数学期望或均值（简称为期望）．

22213、方差:D(X)(x1E(X))p1(x2E(X))p2L(xnE(X))pn叫随机变量X

的方差，简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：

两点分布 二项分布，X ～ B（n,p） 期望 E(X)p E(X)np 方差 D(X)pq D(X)npq 超几何分布N，M，n 15、正态分布：

E(X)nM N 若正态变量概率密度曲线的函数表达式为

的图像，其中解析式中的实数、是参数，且0，、分别表示总体的期望与标准差． 期望为与标准差为的正态分布通常记作N(,)，正态变量概率密度曲线的函数的图象

2称为正态曲线。 16、正态曲线基本性质：

（1）曲线在x轴的上方，并且关于直线x=对称．

（2）曲线在x=时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．

（3）曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；

越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．

17、3原则：

容易推出,正变量在区间(2,2)以外取值的概率只有%,在(3,3)以外取值的概率只有% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

P(,)68.3% P(2,2)95.4% P(3,3)99.7%

精心搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小