2020中考数学压轴题专题07 反比例函数问题

专题07 反比例函数问题

【典例分析】

【考点1】反比例函数的图象与性质

3【例1】（2019·湖北中考真题）反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）

xA．图象经过点(1,-3) C．图象关于直线y=x对称 【答案】D

【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．

【详解】解：由点1,3的坐标满足反比例函数yB．图象位于第二、四象限 D．y随x的增大而增大

3，故A是正确的； x由k30，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；

3关于yx对称是正确的，故C也是正确的， x由反比例函数的性质，k0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D

由反比例函数的对称性，可知反比例函数y是不正确的， 故选：D．

【点睛】考查反比例函数的性质，当k0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，yx和yx是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.

【变式1-1】（2019·广东中考真题）若点A(1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y

则y1,y2,y3的大小关系是（ ） A．y3y2y1 【答案】C

B．y2y1y3

C．y1y3y2

D．y1y2y3

6

的图像上，x

【解析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得y1、y2、y3的值，然后通过比较大小即可解答. 【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数y得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2， 所以，y1y3y2； 故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.

6

上， x

【变式1-2】（2019·湖南中考真题）如图，一次函数y1kxb(k0)的图象与反比例函数y2常数且m0）的图象都经过A1,2,B2,1，结合图象，则不等式kxbm（m为xm的解集是（ ） x

A．x1

C．x1或0x2 【答案】C

B．1x0 D．1x0或x2

m的解集． xm【详解】解：由函数图象可知，当一次函数y1kxbk0的图象在反比例函数y2（m为常数且

x【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kxb

m0）的图象上方时，x的取值范围是：x1或0x2，

∴不等式kxb故选：C．

【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 【考点2】反比例函数k的几何意义

m的解集是x1或0x2. xk

【例2】（2019·江苏中考真题）如图，已知A为反比例函数y（x<0）的图像上一点，过点A作AB⊥yx

轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）

A．2 【答案】D

B．-2 C．4 D．-4

【解析】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案.

【详解】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n， ∵S△ABO=∴

1ABgOB=2， 2mn2， 2∴mn=-4，

又∵点A在反比例函数y∴n=

k

(x<0)的图象上， x

k， m∴k=mn=-4， 故选D.

【点睛】本题考查了反比例函数y解题的关键.

k(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关内容是x

【变式2-1】（2019·辽宁中考真题）如图，点A在双曲线y＝

点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝

6（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，xk（x＞0）经过点C，则k＝_____． x

【答案】2

【解析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】解：连接OC，

∵点A在双曲线y＝∴S△OAB＝

6（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B， x1×6＝3， 2∵BC：CA＝1：2，

13k∵双曲线y＝（x＞0）经过点C，

x1∴S△OBC＝|k|＝1，

2∴S△OBC＝3×＝1， ∴|k|＝2， ∵双曲线y＝∴k＝2，

k（x＞0）在第一象限， x

故答案为2．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．

【变式2-2】（2019·湖南中考真题）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数

yk(k0)上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作ADy轴于点D，过点B、C分别作BE,CFx垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记AOD、BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、

S3，则（ ）

A．S1S2S3 【答案】B

B．S2S3 C．S3S2S1 2D．S1S2S3

【解析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S2S3S1，即可得到结论． 【详解】解：∵点A、B、C为反比例函数y于点E、F， ∴S1k(k0)上不同的三点， ADy轴， BE,CF垂直x轴x11k,SBOESCOFk， 22∵SBOESOMESC0FSOME，

∴S2S3S1，（故B正确、故A.C错误）

22∵S3S1S2S3S1S3S3(S3S1)＜0

2∴S1S2＞S3，即D错误. 故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．

【变式2-3】（2019·湖南中考真题）如图，点A，C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y4的x图象的交点，过A点作ADx轴于点D，过C点作CBx轴于点B，则四边形ABCD的面积为___．

【答案】8

【解析】由反比例函数的对称性可知OAOC，OBOD，则SΔAOBSΔBOCSΔDOCSAOD，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案． 【详解】QA、C是两函数图象的交点，

A、C关于原点对称，

QCDx轴，ABx轴，

OAOC，OBOD，

SΔAOBSΔBOCSΔDOCSAOD，

又Q反比例函数y4的图象上， x1SΔAOBSΔBOCSΔDOCSAOD42，

2S四边形4SΔAOB428，

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出OAOC，OBOD是解题的关键，注意k的几何意义的应用．

2的图象上，xk33点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形

x22【变式2-4】（2019·辽宁中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣

ODAE．

（1）求点B的坐标．

（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式．

322，2）；（2）直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3． 23333【解析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出y2＝，由题意可知B的横坐标为，代

x2【答案】（1）B（入即可求得B的坐标；

（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式．

3kS矩形ODAE，点B在第一象限y2＝的图象上， 2x2∵点A在第四象限y1＝﹣的图象上，

x【详解】（1）∵S矩形OCBE＝∴S矩形ODEA＝2 ∴S矩形OCBE＝∴k＝3， ∴y2＝

3×2＝3， 23， x3， 23∴B的横坐标为，

233代入y2＝得，y＝3＝2，

x23∴B（，2）；

2∵OE＝AD＝（2）设P（a，0）， ∵S△BPE＝

131PE•BE＝a23，

22239或， 2293∴点P（﹣，0）或（，0），

22解得a＝﹣

设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0）， ①若直线过（

33，2），（﹣，0）， 2232mn22m ，解得则3，

3mn0n12∴直线BP的解析式为y＝②若直线过（

2x+1； 393，2），（，0）， 2232mn22m ，解得则3，

9mn0n322x+3； 322综上，直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．

33∴直线BP的解析式为y＝﹣

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键． 【考点3】反比例函数的实际应用

【例3】（2019·内蒙古中考真题）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，

加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？

10x30,0x770yx【答案】（1）y与x的函数关系式为： y700，与的函数关系式每分钟重复出70,7x33x现一次；（2）她最多需要等待

34分钟； 3x7，【解析】（1）分情况当0剟当x7时，用待定系数法求解；（2）将y50代入y10x30，得x2，

将y50代入y700，得x14，可得结果. x【详解】（1）由题意可得，

a(10030)1070107，

x7时，设y关于x的函数关系式为：ykxb， 当0剟b30k10，得， 7kb100b30x7时，y关于x的函数关系式为y10x30， 即当0剟当x7时，设y

a

， x

100a，得a700， 7700， x即当x7时，y关于x的函数关系式为y当y30时，x70， 310x30,0x770yx∴y与x的函数关系式为： y700，与的函数关系式每分钟重复出现一次； 70,7x33x（2）将y50代入y10x30，得x2，

700，得x14， x7034∵14212， 1233将y50代入y∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待

34分钟； 3【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键.

【变式3-1】（2019·湖北中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把

它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ） A．F1200 lB．F600 lC．F500 lD．F0.5 l【答案】B

【解析】根据所给公式列式，整理即可得答案.

【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和

0.5m，

∴动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式为：12000.5Fl， 则F600， l故选B．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.

【变式3-2】（2018·山东中考真题）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工

作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y(mg/m)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）

3

A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3 B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min

3C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消

毒完全有效

33D．当室内空气中的含药量低于2mg/m时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m开始，需经过59min后，学生才能进入室内

【答案】C

【解析】利用图中信息一一判断即可. 【详解】解: A、正确．不符合题意．

B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；

C、y=5时，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意； D、正确．不符合题意， 故选C.

【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.

【考点4】反比例函数与一次函数综合

【例4】（2019·辽宁中考真题）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反

比例函数y＝

k2的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点． x

（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（2）求△COD的面积；

（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜【答案】（1）y1＝x+2；y2＝

k2的解析式； xk2． xk8；（2）S△COD＝6；（3）当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜2． xx【解析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CEx轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；

（2）联立方程求得D的坐标，然后根据SVCODSVBOCSVBOD即可求得△COD的面积； （3）根据图象即可求得k1xb＜k2时，自变量x的取值范围． x

【详解】

（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝∴k2＝24＝8， ∴y2＝；

如图，作CE⊥x轴于E，

∵C（2，4），点B是线段AC的中点， ∴B（0，2），

∵B、C在y1＝k1xb的图象上，

k2的图象上， x8x2k1b4∴ ，

b21，b＝2， 解得k1＝∴一次函数为y1＝x2；

yx2（2）由8 ，

yx解得x2x4或，

y4y2∴D（﹣4，﹣2），

∴SVCOD＝SVBOCSVBOD＝2224＝6； （3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1xb＜12k2． x【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B点的坐标是解题的关键．

【变式4-1】（2019·广西中考真题）已知ab0，一次函数yaxb与反比例函数y

标系中的图象可能（ ）

a

在同一直角坐x

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．

【详解】解：若反比例函数y＝a﹣b 的 经过第一、三象限，则a＞0 ．所以b＜0 ．则一次函数y＝axx图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数y＝四象限． 故选项A正确； 故选A．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

a﹣b的图象应该经过第二、三、经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数y＝axxk【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，一次函数ymxn(m0)的图象与反比例函数y(k0)x的图象交于第二、四象限内的点A(a,4)和点B(8,b)．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，AOC的面积为4．

（1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出mxnk的解集； x34,0) 3（3）在x轴上取点P，使PAPB取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】（1）a2，b1；（2）2x0或x8； （3）P(【解析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得OC2，得到A2,4，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答 （2）根据函数图象结合解析式即可判断

（3）作点B关于x轴的对称点B'，直线AB'与x轴交于P，得到B'8,1 ，设直线AP的关系式为

ykxb，把将 A2,4，B'8,1代入得到解析式，即可解答

【详解】（1）∵点Aa,4， ∴AC4， ∵SAOC4，即∴OC2，

∵点Aa,4在第二象限， ∴a2 A2,4，

1OCAC4， 2k

得：k8， x

8∴反比例函数的关系式为：y，

x将A2,4代入y把B8,b代入得：b1， ∴B8,1

因此a2，b1；

k的解集为：2x0或x8； x（3）如图，作点B关于x轴的对称点B'，直线AB'与x轴交于P，

（2）由图象可以看出mxn此时PAPB最大， ∵B8,1 ∴B'8,1

设直线AP的关系式为ykxb，将 A2,4，B'8,1代入得：解得：k2kb4

8kb1317，b， 105317x， 105∴直线AP的关系式为y当y0时，即∴P31734x0，解得x， 105334,0 3

【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式 【考点5】反比例函数与几何综合

【例5】（2019·山东中考真题）已知一次函数ykxb的图象与反比例函数y轴交于点B(5,0)，若OBAB，且SOABm的图象交于点A，与xx15. 2

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标. 【答案】（l）y2731565P,0 (0,0)P(10,0)P(13,0) ，yx ； （2）P、，，41238x4415可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得2【解析】（1）根据SOAB一次函数和反比例函数的解析式.

（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点.

【详解】（l）过点A作ADx轴于点D ∵SOAB∴

15 21115OBAD5AD 222∴AD3

∵B(5,0)∴ABOB5 在RtABD中，BD∴OD9∴A(9,3)

AB2AD252324

mm经过点A ∴3 ∴m27 x927∴反比例函数表达式为y

x∵y∵ykxb经过点A，点B

3k9kb34∴ 解得155kb0b4∴一次函数表达式为y315x 44

（2）本题分三种情况

①当以AB为腰，且点B为顶角顶点时，可得点P的坐标为P1(0,0)、P2(10,0)

②当以AB为腰，且以点A为顶角顶点时，点B关于AD的对称点即为所求的点P3(13,0) ③当以AB为底时，作线段AB的中垂线交x轴于点P4，交AB于点E，则点P4即为所求 由（1）得，C0,15 422515 在RtOBC中，BCOC2OB25244∵cosABP4cosOBC

5BEOB5252565∴∴2∴BP4∴OP4 5BP4BCBP4258884∴P465,0 8【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B.

【变式5-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,2)在反比例函数y(x0)kx

的图象上，点B在OA的延长线上，垂足为C，连接AC，BC与反比例函数的图象相交于点D，BCx轴，

AD．

（1）求该反比例函数的解析式； （2）若SACD3，设点C的坐标为(a,0)，求线段BD的长． 2

【答案】（1）y

6

；（2）3 x

k，即可求出函数解析式； x【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=

（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据 S△ACD=

3，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长． 2【详解】解：

k（1）∵点A(3,2)在反比例函数y(x0)的图象上，

x∴k326， ∴反比例函数y

6； x

6； x

答：反比例函数的关系式为：y

（2）过点A作AEOC，垂足为E，连接AC，

设直线OA的关系式为ykx，将A(3,2)代入得，k∴直线OA的关系式为y2， 32x， 32266∵点C(a,0)，把xa代入yx，得：ya，把xa代入y，得：y，

x33a

22∴B(a,a)），即BCa，

3366D(a,)，即CD

aa3∵SACD，

213163∴CD•EC，即(a3)，解得：a6， 222a226∴BDBCCDa3；

3a答：线段BD的长为3．

【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．

【变式5-2】（2019·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重

合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数ykx0x的图象上，则

AC的值为（ ） BD

A．2 【答案】A

B．3 C．2

D．5 【解析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案. 【详解】解：设Dm,k，Bt,0， m∵M点为菱形对角线的交点， ∴BDAC，AMCM，BMDM，

∴Mmtk,，

22m把Mkmtkmtk,k， y代入得22m22mx∴t3m，

∵四边形ABCD为菱形， ∴ODABt，

2k∴m3m，解得k22m2， m22∴M2m,2m，

在RtABM中，tanMABBM3m1， AM6m2∴

AC2． BD故选A．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质．

【达标训练】

1．（2019·山东中考真题）如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（ ）

k（x＞0）x

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k． 【详解】如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．

∵S△AOB＝S△BOC， ∴AB＝BC．

∵△AOB的面积为1，

1OA•OB＝1， 22∴OA＝，

a∴

∵CD∥OB，AB＝BC， ∴OD＝OA＝∴C（

2，CD＝2OB＝2a， a2，2a）， ak（x＞0）的图象经过点C， x∵反比例函数y＝∴k＝

2×2a＝4． a故选D．

【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．

2．（2019·辽宁中考真题）如图，点A在反比例函数y=B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )

3(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点x

A．3 【答案】C

B．2 C．

3 2D．1

【解析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=

1|k|，便可求得结果． 2【详解】解：连结OA，如图，

∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB=S△CAB，

13|k|=，

223∴S△CAB=，

2而S△OAB=故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 3．（2019·四川中考真题）如图，一次函数y1=ax+b和反比例函数y2k图象中任取一点，过这一个xk的图象相交于A，B两点，则使xy1y2成立的x取值范围是( )

A．2x0或0x4 C．x2或x4 【答案】B

B．x2或0x4 D．2x0或x4

【解析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：x2或0x4时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使y1y2成立的x取值范围是x2或0x4， 故选B．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 4．（2019·山东中考真题）函数yaxa与ya（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） xA． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】a0时，a0，yaxa在一、二、四象限，ya0时，a0，yaxa在一、三、四象限，ya在一、三象限，无选项符合． xa（a0）在二、四象限，只有D符合； x故选：D．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限．

5．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，反比例函数yBAx轴于点A，

kx（x0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线yx的对称点C的坐标为(1,n)(n1)，若VOAB的面积为3，则k的值为（ ）

A．

1 3B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．

【详解】∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1）， ∴C（n，1）， ∴OA=n，AC=1， ∴AB=2AC=2， ∵△OAB的面积为3， ∴

1n×2＝3， 2解得，n=3， ∴C（3，1）， 1=3． ∴k=3×故选：D．

【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．

6．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y25，则k的值为（ ）

k（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为x

A．2 【答案】C

B．3 C．4 D．6

【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横 坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为25，求得AE的长，在Rt△AEB中，即可得出k的值．【详解】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，

∵A，B两点在反比例函数yk（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， x∴A（

kk，4），B（，2），

24∴AE＝2，BE111kkk，

424∵菱形ABCD的面积为25， AE＝25，即BC∴BC×∴AB＝BC5，

5，

AB2AE21

在Rt△AEB中，BE∴

1k＝1， 4∴k＝4． 故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．7．（2019·湖北中考真题）如图，平面直角坐标系中，A8,0,B8,4,C0,4，反比例函数yk的x 图象分别与线段AB,BC交于点D,E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k（ ）

A．20 【答案】C

B．16 C．12

D．8

【解析】根据A(-8,0), B(-8,4), C(0,4)，可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．

【详解】过点E作EGOA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：

则BDEFDE，

BDFD,BEFE,DFEDBE90

易证ADF~GFE

AFDF， EGFEQA(8,0),B(8,4),C(0,4)，

ABOCEG4,OABC8，

QD、E在反比例函数y

kkE,4,D8,-

84k

的图象上， x

kkOGEC-,AD

48

kkBD4,BE8

84k4BD81DFAF BE8k2FEEG41AFEG2，

2在RtADF中，由勾股定理： AD2AF2DF2

kk即：224 88解得：k12 故选C．

【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1:2是解题的关键．

8．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A、C的坐标分别是0,3、3,0，

22ACB900，AC2BC，则函数ykk0,x0的图象经过点B，则k的值为（ ） x

A．

9 2B．9 C．

27 8D．

27 4【答案】D

【解析】根据A、C的坐标分别是0,3、3,0可知OAOC3，进而可求出AC，由AC2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．

【详解】

解：过点B作BDx轴，垂足为D，

∵A、C的坐标分别是0,3、3,0， ∴OAOC3，

在RtAOC中，ACOA2OC232， 又∵AC2BC， ∴BC32， 2又∵ACB900，

∴OACOCA450BCDCBD， ∴CDBD∴OD3∴B3223， 22239 22k2793,代入y得：k，

4x22故选：D．

【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键.

9．（2019·湖南中考真题）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y面积是( )

11和y，则阴影部分的xx

A．4π 【答案】C

B．3π C．2π D．π

【解析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可． 【详解】双曲线y11和y的图象关于x轴对称， xx根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到

阴影部分就是一个扇形，

并且扇形的圆心角为180，半径为2， 所以：S阴影故选C．

【点睛】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．

10．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，

180222．

360sinCOA4k．若反比例函数y(k0,x0)经过点C，则k的值等于（ ）

x5

A．10 【答案】C

B．24 C．48 D．50

【解析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8)，将点C坐标代入解析式可求k的值． 【详解】解：如图，过点C作CEOA于点E，

∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)， ∴OCOA10， ∵sinCOA∴CE8，

∴OECO2CE26

4CE． 5OC

∴点C坐标(6,8) ∵若反比例函数y∴k6848 故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．

11．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A,B恰好分别落在函数yk(k0,x0)经过点C， x14x0,yx0的图象上，则sinABO的值为（ ） xx

A．

1 3B．

3 3C．

5 4D．5 5【答案】D

【解析】点A,B落在函数y14x0，yx0的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直xx角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】过点A,B分别作ADx轴，BE⊥x轴，垂足为D,E，

Q点A在反比例函数y14x0上，点B在yx0上， xxSVAOD＝1，SVBOE＝4，

又QAOB＝90 AOD＝OBE， VAOD∽VOBE，

SVAOD1AO， SVOBE4OBAO1 OB222设OA则OB＝2m，AB＝m22m＝m，在RtAOB中，sinABO＝故选D

5m

OAm5 AB5m5【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．

12．（2019·山东中考真题）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=E两点，若平行四边形AOBC的面积为24，则k的值是（ ）

k（k＞0）经过A、x

A．8 【答案】A

B．7.5 C．6 D．9

【解析】设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=

k（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出x点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB-OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB-FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为24，列出等式，将a=3x代入可得出k的值． 【详解】设A（x，

k），B（a，0），过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图， x由平行四边形的性质可知AE=EB，

再EF为△ABD的中位线， 由三角形的中位线定理得：EF1k1ax AD,DF(ax),OF22x22则E axk, 22x∵E在双曲线上， ∴

axkk 22x∴a=3x，

∵平行四边形的面积是24， ∴akk3x3k24 zx解得：k=8． 故选：A

【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．

13．（2019·山东中考真题）如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到ABC．若反比例函数yk 的图象恰好经过AB的中点D，则k的值是（ ）

x

A．9 【答案】C

B．12 C．15 D．18

【解析】作A'Hy轴于H.证明VAOB≌VBHA'AAS，推出OABH，OBA'H，求出点A'坐

标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题． 【详解】解：作AHy轴于H．

∵AOBAHBABA90，

∴ABOABH90，ABOBAO90， ∴BAOABH， ∵BABA，

∴VAOB≌VBHAAAS， ∴OABH，OBAH，

∵点A的坐标是2,0，点B的坐标是0,6， ∴OA2，OB6，

∴BHOA2，AHOB6， ∴OH4， ∴A6,4， ∵BDAD， ∴D3,5， ∵反比例函数y∴k15． 故选：C．

【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

14．（2019·辽宁中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点

k

的图象经过点D， x

O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣

4k和y＝的图象上，则k的值为___．

xx

【答案】12．

【解析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到

AEOEOA3，OFBFOB34443设A(m,)，于是得到AE=-m，OE，从而得到B(，于是求得结果． ,3m)，

mmm【详解】解：过A作AEy轴于E过B作BFy轴于F，

QAOB90，ABC30，

tan30OA3， OB3QOAEAOEAOEBOF90， OAEBOF，

AOE∽BOF，

AEOEOA3，

OFBFOB34设A(m,)，

mAEm，OE4， m43， mOF3AE3m，BF3OEB(43,3m)， m43g3m12． mk故答案为：12．

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.

15．（2019·青海中考真题）如图，P是反比例函数yk图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，x连接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为_____．

【答案】y＝．

【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，VPAO的面积＝即可．

【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，

2x1k，再根据图象所在象限求出k的值2VPAO面积等于

即

1k， 21k1， 2k＝2，

由于函数图象位于第一、三象限，则k＝2，

2反比例函数的解析式为y＝；

x2故答案为y＝．

x【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围

成的矩形面积就等于k．

16．（2019·湖北中考真题）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数ykk0相交于点A、点B，x过点A作ACy轴，垂足为C，连接BC．若ABC面积为8，则k_____．

【答案】8

【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数y可知△AOC的面积等于

k的比例系数k的几何意义，x1k，从而求出k的值． 2【详解】解：Q反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，

A、B两点关于原点对称， OAOB，

BOC的面积AOC的面积824，

又QA是反比例函数yk图象上的点，且ACy轴于点C， xAOC的面积1k4， 21k， 2Qk0，

k8．

故答案为8．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键在于得出O为线段AB的中点．

17．（2019·湖北中考真题）如图，双曲线y9k(x0)经过矩形OABC的顶点B，双曲线y(x0)交AB，

xxBC于点E，F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF.若OD:OB2:3，则BEF的面积为

__________.

【答案】

25. 18【解析】设D(2m,2n)，根据题意A(3m,0)，C(0,3n)，B(3m,3n)，即可得出93m3n，

44k2m2n4mn，解得mn1，由E3m,n，Fm,3n，求得BE、BF，然后根据三角形面积

33公式得到SBEF1BEBF进行求解即可. 2【详解】设D(2m,2n)， ∵OD:OB2:3， ∴A(3m,0)，C(0,3n)， ∴B(3m,3n)， ∵双曲线y9(x0)经过矩形OABC的顶点B， x∴93m3n， ∴mn1，

k∵双曲线y(x0)经过点D，

x∴k4mn ∴双曲线y∴E3m,4mn(x0)， x44n，Fm,3n， 33∴BE3n∴SBEF45nn，BF3mmm， 333312525BEBFmn， 21818

故答案为：

25. 18【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．

18．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数ykx0的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别x交AB，BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为12，则k的值为______．

【答案】4

【解析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出OCE、OAD、XOABC的面积与k的关系，列出等式求出k值．

【详解】∵E、M、D位于反比例函数图象上， ∴SOCE11k，SOADk， 22过点M作MGy轴于点G，作MNx轴于点N， ∴四边形ONMG是矩形， ∴S矩形ONMGk，

∵M为矩形ABCO对角线的交点， ∴S矩形ABCO4S矩形ONMG4k， ∵函数图象在第一象限， ∴k0，

∴S矩形ABCOSOCE+SOAD+S四边形ODBE=解得：k4．

kk124k， 22

故答案为：4

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．

19．（2019·贵州中考真题）如图，直线lx轴于点P，且与反比例函数y1k1k（x0）及y22（x0）

xx的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知OAB的面积为4，则k﹣1k2________．

【答案】8．

【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：AOP的面积为形面积作差即可求出结果．

【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可知：AOP的面积为∴AOB的面积为故答案为8．

【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于基础题型． 20．（2019·湖北中考真题）如图，矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y11k1，BOP的面积为k2，然后两个三角2211k1，BOP的面积为k2， 221111k1k2，∴k1k24，∴k1k28.

2222k(k0)的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若ODE的面积x为3，则k的值为______．

【答案】4

【解析】设B点的坐标为(a,b)，则E的坐标为E(a,)，D(a,b)，由点D在反比例函数的图象上，可得

ka121abk，继而根据SODES矩形OCBASAODSOCESBDE进行求解即可得. 2【详解】∵四边形OCBA是矩形， ∴ABOC，OABC，

设B点的坐标为(a,b)，则E的坐标为E(a,)， ∵D为AB的中点， ∴D(a,b)，

∵D,E在反比例函数的图象上， ∴

ka121abk， 21111kkka(b)3， 2222a∵SODES矩形OCBASAODSOCESBDEab∴ab1111kkabk3， 2244解得：k4， 故答案为4．

【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

21．A、B两点在反比例函数y（2019·四川中考真题）如图，的图象上，ACx轴于点E，BDx轴于点F，AC2,k1kC、D两点在反比例函数y2的图象上，

xxBD4,EF3，则k2k1_____．

【答案】4 【解析】设出Aa,k1k2k1k2,Ca,,Bb,,Db,由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4． aabb【详解】解：设Aa,k1k2k1k2,Ca,,Bb,,Db,，则 aabbk2k12, aakk212，

akk1 得a22kk2kk4，得b12 同理：BD1b4CA又Qa﹣b＝3

k2k1k1k23 24﹣k1＝4 解得：k2【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 22．（2019·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y和点B，分别交反比例函数y11x1分别交x轴，y轴于点A2k2kk0,x0y，过点C作CEx2x0的图象于点C和点D，xx轴于点E，连结OC,OD. 若COE的面积与DOB的面积相等，则k的值是_____.

【答案】2.

【解析】过点D作DFy轴于F.根据k的几何意义，结合三角形面积之间的关系，求出交点D的坐标，代入y22kx0即可求得k的值． x【详解】如图，过点D作DFy轴于F.

把y=0代入y1x1得：x=2，故OA=2 2由反比例函数比例系数的几何意义，

1k，SDOFk. 21∵SDOBSCOEk，

21 ∴SDBFSDOFSDOBkSDOB，

2可得SCOE∴OBFB.

易证DBF≌ABO，从而DFAO2，即D的横坐标为2，而D在直线AC上， ∴D(2,2) ∴k1(2)(2)2. 2故答案为：2

【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相等列出k的方程．

23．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，YABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若yk(k0)图象经过点C，且SBEF1，则k的值为____. x

【答案】24.

【解析】作FGBE，作FHCD，设A(2a,0)，D(0,4b)，由翻折的性质得：ADOEDO，根据全等三角形性质得OAOE，结合题意可得E(2a,0)，B(a,0)，由平行四边形性质得，AEPCD，，根据相似三角形判定和性质得ABCD3a，C(3a,4b)，三角形面积公式得

BEFGa1，从而得FGb，由CDFH3a31ab1，即ab2，将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值. 2【详解】作FGBE，作FHCD，如图，设A(2a,0)，D(0,4b)，

依题可得：ADOEDO， ∴OAOE， ∴E(2a,0)， ∵B为OE中点， ∴B(a,0)， ∴BEa，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AEPCD，ABCD3a，C(3a,4b)， ∴BEF:CDF，

∴

BEFGa1， CDFH3a3又∵D(0,4b)， ∴OD4b， ∴FGb， 又∵SBEF∴即

1BEFG1， 21ab1， 2∴ab2，

∵C(3a,4b)在反比例函数y

k

上， x

∴k3a4b12ab12224. 故答案为：24.

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝

k（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BMx⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积． 【答案】（1）y＝

4，y＝2x+2；（2）四边形MBOC的面积是4． x【解析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；

（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式

即可求得．

【详解】解：（1）∵BM＝OM＝2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）， ∵反比例函数y＝则﹣2＝

k（k≠0）的图象经过点B， xk，得k＝4， 2∴反比例函数的解析式为y＝∵点A的纵坐标是4， ∴4＝

4， x4，得x＝1， x∴点A的坐标为（1，4），

∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），

mn4m2∴，解得，

2mn2n2即一次函数的解析式为y＝2x+2； （2）∵y＝2x+2与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2），

∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0）， ∴OC＝MB＝2， ∵BM⊥x轴， ∴MB∥OC，

∴四边形MBOC是平行四边形， ∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．

25．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y形BOC的顶点B，OC2，点A在反比例函数图象上，连接AC,AO. （1）求反比例函数yk(k0)的图象过等边三角xk(k0)的表达式； x

（2）若四边形ACBO的面积是33，求点A的坐标.

【答案】（1）y13（2）,23

2x【解析】（1）先求出B的坐标，根据系数k的几何意义即可求得k=3，从而求得反比例函数的表达式； （2）根据题意可SACBOSBOCSAOC，求出AN23，再设A(t,23)，求出t，即可解答 【详解】（1）QOC2OM1,BM3，

B(1,3)

k(1)(3)3

反比例函数的表达式为y（2）∵SACBO33 3 x∴SACBOSBOCSAOC

∵SBOC3OC23 43SAOC33SAOC23

1OC2,OC•AN23 2AN23 设A(t,23)

23t3 t1 21A,23

2【点睛】此题考查了反比例函数解析式，不规则图形面积.，解题关键在于求出B的坐标

26．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykxb的图像与反比例函数ymx的图像在第二象限交于点B，与x轴交于点C，点A在y轴上，满足条件：CACB，且CACB，点C的坐标为(3,0)，cosACO5。 5

（1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当x0时，kxb【答案】（1）ym的解集。 x27；（2）9x0 x【解析】（1）过点B作BH⊥x轴于点H，证明BHC≌COA得到BH与CH的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；

（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果． 【详解】解：（1）如图作BHx轴于点H

则BHCBCACOA90 ∴BCHCAO ∵点C的坐标为(3,0) ∴OC3 ∵cosACO5 5∴AC35，AO6 在BHC和COA中

BCAC有BHCCOA90 BCHCAO∴BHC≌COA

∴BHCO3，CHAO6 ∴OH9，即B(9,3) ∴m9327 ∴反比例函数解析式为y27 x（2）因为在第二象限中，B点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方, 所以当x0时，kxbm的解集为9x0. x【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．

27．（2019·湖南中考真题）如图，一次函数yx3的图象与反比例函数yk(k0)在第一象限的图象x

交于A(1,a)和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在x轴上，且APC的面积为5，求点P的坐标．

【答案】（1）y2 （2）P的坐标为(2,0)或(8,0) xkk0求k即可； x【解析】（1）利用点A在yx3上求a，进而代入反比例函数y（2）设Px,0，求得C点的坐标，则PC3x，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）把点A1,a代入yx3，得a2， ∴A1,2

把A1,2代入反比例函数y∴k122；

∴反比例函数的表达式为yk， x2； x（2）∵一次函数yx3的图象与x轴交于点C， ∴C3,0， 设Px,0， ∴PC3x， ∴SAPC13x25， 2∴x2或x8，

∴P的坐标为2,0或8,0．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．

28．（2019·贵州中考真题）如图，一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3. (1)求一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)写出不等式kx+b＞﹣

12的图x12的解集. x

【答案】(1) y＝﹣x﹣1；(2)△AOB的面积为

7；(3) x＜﹣4或0＜x＜3. 2【解析】（1）先根据A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，求出A,B，再把A,B的值代入解析式即可解答 （2）先求出C的坐标，利用三角形的面积公式即可解答

（3）一次函数大于反比例函数即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的x的取值范围； 【详解】(1)∵一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3， ∴312的图象交于A、B两点， x12， x解得：x＝﹣4， y＝﹣

12＝﹣4， 3故B(﹣4，3)，A(3，﹣4)， 把A，B点代入y＝kx+b得：

4kb3{， 3kb4k1解得：{，

b1故直线解析式为：y＝﹣x﹣1； (2)y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，

故C点坐标为：(﹣1，0)，

117×1×3+×1×4＝；

22212(3)不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3.

x则△AOB的面积为：

【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式 29．（2019·江苏中考真题）如图，点A2,n和点D是反比例函数ymm0,x0图象上的两点，一x次函数ykx3k0的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DEx轴，垂足为E，连接OA,OD．已知OAB与ODE的面积满足SOAB:SODE3:4．

（1）SOAB＝ _____，m＝ _____；

（2）已知点P6,0在线段OE上，当PDECBO时，求点D的坐标． 【答案】（1）3，8；（2）D8,1.

【解析】（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB=3，所以S△ODE=4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；

（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE=∠CBO，∠COB=∠PED=90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标． 【详解】（1）由一次函数ykx3知，B0,3． 又点A的坐标是2,n，

1SOAB323．

2QSOAB:SODE3:4． SODE4．

∵点D是反比例函数ymm0,x0图象上的点， x1mSODE4，则m8． 2（2）由（1）知，反比例函数解析式是y

8． x

2n8，即n4．

故A2,4，将其代入ykx3得到：2x34． 解得k1． 2∴直线AC的解析式是：y令y0，则

1x3． 21x30， 2x6，

C6,0．

OC6．

由（1）知，OB3．

设Da,b，则DEb，PEa6．

QPDECBO，COBPED90， CBO:PDE，

OBOC36，即①， DEPEba6又ab8②． 联立①②，得故D8,1．

a2a8（舍去）或．

b4b1

【点睛】考查了反比例函数综合题，需要掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，但是难度不是很大．

30．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B(0,7)，与反比例函数y在第二象限内的图象相交于点A(1, a)． （1）求直线AB的解析式；

（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求ACD的面积；

（3）设直线CD的解析式为ymxn，根据图象直接写出不等式mxn8x8的解集． x

【答案】（1））yx7；（2）ACD的面积为18；（3）4x0或x2． 【解析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数y定出一次函数的解析式；

（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E

8求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确x

的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；

（3）根据图象即可求得．

【详解】（1））∵点A(1, a)在反比例函数y∴a8的图象上， x88， 1∴A(1,8)， ∵点B(0,7)，

∴设直线AB的解析式为yk x7， ∵直线AB过点A(1,8)， ∴8k7，解得k1， ∴直线AB的解析式为yx7；

（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为yx2， ∴D(0,2)， ∴BD729，

yx2x4x2联立，解得或， 8yy2y4x∴C(4,2)，E(2,4)， 连接AC，则CBD的面积19418， 2由平行线间的距离处处相等可得ACD与CDB面积相等， ∴ACD的面积为18． （3）∵C(4,2)，E(2,4)， ∴不等式mxn8的解集是：4x0或x2． x

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

31．（2019·四川中考真题）一次函数ykxb的图象经过点A(1,4)，B(4,6)． (1)求该一次函数的解析式；

(2)若该一次函数的图象与反比例函数y的值．

【答案】(1)一次函数解析式为： y2x2；(2)m12． 【解析】(1)利用待定系数法进行求解即可；

(2)联立一次函数解析式与反比例函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可得x1x21，x1x2=-

m的图象相交于C(x1,y1)，D(x2,x2)两点，且3x12x2，求mxm，再由3x12x2求得x1、x2的值即可求得答案. 2【详解】(1)由题意得： kb4，

4kb6解得： k2，

b2一次函数解析式为： y2x2；

y2x2(2)联立，消去y得： 2x22xm0， myx则x1x21，x1x2=-又∵3x12x2，

m， 2

∴x12，

x23m， 2(-3)=-∴2×∴m=12.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及了待定系数法，一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

32．（2019·山东中考真题）如图，YABCD中，顶点A的坐标是0,2，ADPx轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是-4，YABCD的面积是24．反比例函数y

k

的图象经过点B和D，求： x

（1）反比例函数的表达式；（2）AB所在直线的函数表达式． 【答案】（1）y8；（2）y3x2 x【解析】(1)根据题意得出AE6，结合平行四边形的面积得出ADBC4，继而知点D坐标，从而得出反比例函数解析式；

(2)先根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得． 【详解】(1)∵顶点A的坐标是0,2，顶点C的纵坐标是-4， ∴AE6，

又YABCD的面积是24， ∴ADBC4， 则D4,2， ∴k428， ∴反比例函数解析式为y

8； x

(2)由题意知B的纵坐标为-4，

∴其横坐标为-2， 则B2,4，

设AB所在直线解析式为ykxb， 将A0,2、B2,4代入，得：b2，

2kb4解得：k3， b2所以AB所在直线解析式为y3x2．

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的方法． 33．（2019·甘肃中考真题）如图，已知反比例函数y一象限交于A(1,3),B(3,1)两点 (1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)已知点P(a,0)(a0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数yxb的图象于点

k(k0)的图象与一次函数yxb的图象在第xM，交反比例函数y

k

上的图象于点N．若PMPN，结合函数图象直接写出a的取值范围． x

【答案】(1) y3,yx4；(2) 1a3 x【解析】(1)利用待定系数法即可求得； (2)根据图象可解．

【详解】解：(1)∵反比例函数yk(k0)的图象与一次函数yxb的图象在第一象限交于xA(1,3),B(3,1)两点，

∴3k,31b， 1∴k3,b4，

∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y3,yx4； x(2)由图象可得：当1a3时，PMPN．

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．

34．（2019·河北中考真题）长为300m的春游队伍，以（的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排vm/s）尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为（，排头与O的2（vm/s）ts）（m）． 距离为S头

（1）当v2时，解答：

①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；

（m）②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲，求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为T，求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此（s）过程中行进的路程．

【答案】（1）①S头＝2t300；②S甲4t1200；（2）T与v的函数关系式为：T此过程中行进的路程为400m．

【解析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；

②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；

（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以

400，此时队伍在v

根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．

【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300； v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200； （t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×

因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．

300300400400 400；，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v2vv2vvvv400因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．

v（2）T=t追及+t返回

【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．

k35．（2019·四川中考真题）如图，直线yx与双曲线y(x0)相交于点A，且OAx2，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点． （1）求直线BC的解析式及k的值； （2）连结OB、AB，求OAB的面积．

【答案】（1）直线BC的解析式为yx1，k=1；（2）2.

【解析】（1）根据平移的性质即可求得直线BC的解析式，由直线yx和OAk然后代入双曲线y(x0)求得k的值；

x2即可求得A的坐标，

（2）作AEx轴于E，BFx轴于F，联立方程求得B点的坐标，然后根据

SAOBS梯形AEFBSBOFSAOES梯形AEFB，求得即可．

【详解】解：（1）根据平移的性质，将直线yx向左平移一个单位后得到yx1， ∴直线BC的解析式为yx1，

k∵直线yx与双曲线y(x0)相交于点A，

x∴A点的横坐标和纵坐标相等， ∵OA2，

∴A(1,1)，

k111；

（2）作AEx轴于E，BFx轴于F，

15151xxy22 解或x得15y15yyx122∴B(1515,)， 22∵SAOBS梯形AEFBSBOFSAOES梯形AEFB，

∴SAOBS梯形AEFB11515(1)(1)2． 222

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．

36．（2019·四川中考真题）如图，一次函数yx3的图象与反比例函数y点B(a,4)．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线ABk(k0)的图象交于点A与x

于点C，连接OC，若POC的面积为3，求出点P的坐标．

【答案】（1）反比例函数的表达式为y【解析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为(m,44；（2）点P的坐标为(5,)或(1,4)或(2,2)．

5x4)(m0)，利用三角形面积公式进行求解. m【详解】解：（1）将B(a,4)代入一次函数yx3中得：a1 ∴B(1,4)

将B(1,4)代入反比例函数y∴反比例函数的表达式为y（2）如图：

k(k0)中得：k4 x4； x

设点P的坐标为(m,∴PC|4)(m0)，则C(m,m3) m4(m3)|，点O到直线PC的距离为m m14∴POC的面积m|(m3)|3

2m

解得：m5或2或1或2 ∵点P不与点A重合，且A(4,1) ∴m4 又∵m0 ∴m5或1或2

∴点P的坐标为(5,)或(1,4)或(2,2)．

【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数.

37．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数

45ky(k0,x0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．已知CD2．

x

（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由． （2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．

（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．【答案】（1）点A在该反比例函数的图像上，见解析；（2）Q的横坐标是317；（3）见解析. 2【解析】（1）连接PC，过点P作PHx轴于点H，由此可求得点P的坐标为（2，3）；即可求得反比

例函数的解析式为y23(x0)，连接AC，过点B作BGAC于点C，求得点A的坐标，由此即可x3b，

判定点A是否在该反比例函数的图象上；（2）过点Q作QMx轴于点M，设DMb，则QM由此可得点Q的坐标为(b3,3b)，根据反比例函数图象上点的性质可得3b(b3)23，解方程球队的b值，即可求得点Q的横坐标；（3）连接AP， APBCEF，AP∥BC∥EF，结合（1）中的条件，将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移3个单位（平移后的点B、C在反比例函数

的图象上）或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位（平移后的点E、F在反比例函数的图象上）. 【详解】解：（1）连接PC，过点P作PHx轴于点H，

Q在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上

OBC和PCH都是含有30角的直角三角形，BCPCCD2 OCCH1，PH3 点P的坐标为(2,3)

k23

反比例函数的表达式为y23(x0)

x连接AC，过点B作BGAC于点C

QABC120，ABBC2

BG1，AGCG3 点A的坐标为(1,23)

当x1时，y23 所以点A在该反比例函数的图像上 （2）过点Q作QMx轴于点M

Q六边形ABCDEF是正六边形，EDM60

设DMb，则QM3b

点Q的坐标为(b3,3b)

3b(b3)23

解得b1317317 ，b222317 2b3点Q的横坐标是317 2（3）连接AP，

QAPBCEF，AP∥BC∥EF

平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，或将正六边形ABCDEF

向左平移2个单位

【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标相结合是解决问题的关系．

38．（2019·江苏中考真题）如图，A为反比例函数y

k

(x>0)图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，x

OB4.连接OA，AB，且OAAB210.

(1)求k的值；

(2)过点B作BCOB，交反比例函数ykAD(x>0)的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值.

DBx

【答案】(1)k=12；(2)

3. 2【解析】(1)过点A作AHOB交x轴于点H，交OC于点M，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到△ADM∽△BDC，所以

ADAM3 BDBC2

【详解】解：

(1)过点A作AHOB交x轴于点H，交OC于点M. QOAAB210,OB4 OH2 AH6

A2,6 k12

(2)将x4代入y 得D4,3 BC3

12 x13 QMHBC

22 AM9 2QAHx轴，BCx轴 AH∥BC △ADM∽△BDC

ADAM3 BDBC2

【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k

4在反比39．（2019·广西中考真题）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1,0，点D4,例函数yk2（x0）的图象上，直线yxb经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE.

3x

（1）求k，b的值；（2）求ACE的面积. 【答案】（1）k16，b2；（2）SAEC6.

C9,4，4代入反比例函数y【解析】（1）由菱形的性质可知B6,0，点D4,2xb，求出b； 32（2）求出直线yx2与x轴和y轴的交点，即可求AEC的面积；

3代入y【详解】解：（1）由已知可得AD5， ∵菱形ABCD， ∴B6,0，C9,4，

k

，求出k；将点C9,4x

4在反比例函数y∵点D4,∴k16，

将点C9,4代入y∴b2； （2）E0,2， 直线y∴SAECkx0的图象上， x2xb， 32x2与x轴交点为3,0， 312246； 2【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键.