专题九 计数原理概率统计

一、单选题

1．（2021·全国高三其他模拟）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表5，下面一颗珠（简称下珠）代表1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位这三组中随机往上拨2颗下珠，算盘表示的数能被5整除的概率是（ ）

A．

2 3B．

1 2C．

1 3D．

3 41，32．（2021·全国高三其他模拟）国庆节期间，小明在MP4中下载了两首歌曲：《今天是你的生日》和《我和我的祖国》，他选择的是随机播放的形式，每4分钟变化一次，其中出现《今天是你的生日》的概率为出现《我和我的祖国》的概率为

2．若在前8次播放中出现《今天是你的生日》有5次、出现《我和我的3祖国》有3次，则前2次出现《今天是你的生日》，其余6次可任意出现《今天是你的生日》3次的概率为（ ） A．

80 83B．

80 73C．

160 83D．

160 733．（2020·全国高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i1 / 12

A．5 B．8 C．10 D．15

y24．（2020·全国高考真题（理））(x)(xy)5的展开式中x3y3的系数为（ ）

xA．5 C．15

B．10 D．20

5．（2020·全国高考真题（文））设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A．0.01

B．0.1

C．1

D．10

46．1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，（2020·全国高考真题（理））在一组样本数据中，且pi1，

i1则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A．p1p40.1,p2p30.4 C．p1p40.2,p2p30.3

B．p1p40.4,p2p30.1 D．p1p40.3,p2p30.2

7．（2020·海南高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 C．60种

B．90种 D．30种

8．（2019·浙江省高考真题）设0a1，则随机变量X的分布列是：

则当a在0,1内增大时（ ） A．DX增大 C．DX先增大后减小

B．DX减小 D．DX先减小后增大

9．（2020·天津高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：

5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零

件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）

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A．10

B．18

C．20

D．36

10．（2020·海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A．2种

B．3种

C．6种

D．8种

11．（2020·全国高考真题（理））某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i1,2,,20)得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A．yabx C．yabex

B．yabx2 D．yablnx

12．（2019·全国高考真题（理））《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

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（ ） A．0.5 二、多选题

13．“连续5天日平均温度不低于22℃”．（2021·全国高三其他模拟）气象意义上从春季进入夏季的标志为：现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件： 甲地：5个数据的中位数是24，众数是22； 乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；

丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是10.2． 则下列说法正确的是（ ） A．进入夏季的地区有2个 C．乙地区肯定还未进入夏季

B．丙地区肯定进入了夏季 D．不能肯定甲地区进入了夏季

B．0.6

C．0.7

D．0.8

14．（2021·全国高三其他模拟）某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在80,90的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）

A．a0.03 B．b0.034

C．本次思想政治考试平均分为80

D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在90,100内的概率为C340.1610.16

315．（2021·江苏高三其他模拟）某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：

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则下列说法中正确的有（ ）

A．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少 B．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍 C．2010年与2020年艺体达线人数相同

D．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加

16．（2021·全国高三其他模拟）据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（ ）

A．到2050年已经退休的人数将超过30%

B．2050年中国46~55岁的人数比16~25岁的人数多30%

C．2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍

19D．若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为

101017．（2020·海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

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A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加; B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量; C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

18．（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,且P(Xi)pi0(i1,2,A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大 1C．若pi(i1,2,n,n)，则H(X)随着n的增大而增大

,m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2,,n),pi1，定义X的信息熵H(X)pilog2pi.（ ）

i1i1nn,n，

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,三、填空题

,m)，则H(X)≤H(Y)

a19．（2021·全国高三其他模拟）已知二项式x3的展开式的二项式系数之和为，且二项式的展开

x式中x4项的系数为15，则a______．

20．（2020·江苏高考真题）已知一组数据4,2a,3a,5,6的平均数为4，则a的值是_____.

n221．（2020·天津高考真题）在x2的展开式中，x2的系数是_________．

x22．（2020·天津高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为

511和．假定两球是否落入盒子互不影23响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 四、双空题

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23．（2020·浙江高考真题）设(12x)5a1a2xa3x2a4x3a5x4a6x5，则a5________；a1a2a3________．

24．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次

E()______． 取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则P(0)_______；

五、解答题

25．（2021·全国高三其他模拟）2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各个国家都翘首以盼疫苗上市.现在全球已经有多款疫苗上市，并且陆续在各个国家开始接种.如今我国有一款疫苗，经过三期临床试验以后，估计该款疫苗每次接种的有效率可达90%，并且已经陆续接到其他国家的订单.现已知该款疫苗需要接种两次，假设前后两次接种互不影响.

（1）某人接种了我国的这款疫苗，则其可以接种成功的概率为多少？

（2）已知某国家已经有意向与我国签订疫苗订单，买疫苗之后免费为本国首批10万人注射.但是由于部分人可能在两次注射疫苗之后未接种成功，所以该国决定购买一批预备疫苗为之后没有接种成功的人进行第二轮注射，第二轮注射仍为注射两次.根据以上信息，估计理想情况下该国需要从我国一共购买多少支疫苗？ 26．（2021·全国高三其他模拟）某通信公司为了更好地满足不同层次的消费者对5G流量的需求，准备推出两款流量包“普通版”和“自由版”．该通信公司选了某个城市作为试点，结果如下表，其中年龄低于40岁的总人数与不低于40岁的总人数之比为2:1． 年龄（单位：岁）自由版 普通版 20,25 25,30 5 0 9 1 30,35 12 3 35,40 5 5 40,45 5 45,50 2 6 n （Ⅰ）若以“年龄是否低于40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22列联表，并判断是否有99%的把握认为选择不同款式的流量包与人的年龄有关； 自由版 普通版 合计 年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 合计 （Ⅱ）为制定合理的资费标准，该公司以“年龄是否低于40岁为分界点”采用分层抽样的方式从中抽取9人

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进行市场调研，再从中选5人进行电话咨询，设其中40岁以下的人数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：

PK2k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 22.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 nadbc2K，其中nabcd．

abcdacbd27．（2018·全国高考真题（文））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,年的数据（时间变量t的值依次为1,2,ˆ30.413.5t；,17）建立模型①：y根据2010年至2016

,7）建立模型②：yˆ9917.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

28．（2021·全国高三其他模拟）在2020年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了2020年前5个月份企业的利润，如下表所示： 月份 企业的利润（万元） 1 2 95 3 105 4 5 110 90 100 ˆa（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润y（万元）关于月份x的回归直线方程yˆbxˆ，并预测

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2020年12月份该企业所获得的利润；

（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互的，前三个环节中生产的产品合格的概率为中产品合格的概率为

1，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为100元，第四个环节23，不合格产品需要的修复费用为50元，设每件产品修复的费用为元，写出的分4布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．

ˆˆa参考公式：回归直线方程yˆbxˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为bxynxyiii1nn，

2ixi1nx2ˆ，x，y为样本数据的平均值． ˆybxa29．（2021·全国高三其他模拟）2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“312”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表： 男生 女生 共计 选考物理 40 选考历史 30 共计 50 （Ⅰ）补全22列联表；

（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由． 参考附表：

PK2k 0.100 0.050 3.841 0.025 5.024 9 / 12

k 2.706

nadbc参考公式：K，其中nabcd．

abcdacbd2230．（2020·全国高考真题（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率.

31．（2020·全国高考真题（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 A 40 B 20 C 20 D 20 1， 2乙分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 A 28 B 17 C 34 D 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

32．（2018·全国高考真题（理））某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互．

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（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

33．（2019·北京高考真题（理））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

交（0,1000] 付金额（元） 支付方式 仅使用A 仅使用B

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

34．（2019·天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互.

（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天

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（1000,2000] 大于2000 18人 10人 9人 14人 3人 1人 2.假定甲、3

数恰好多2”，求事件M发生的概率.

35．（2020·江苏高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn． （1）求p1·q1和p2·q2；

（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．

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