西城区2020届高三一模数学试题和答案

西城区高三统一测试

数学

2020.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.

1.设Axx3,Bxx0，或x2，则AB=（ ）

A.(,0) B.(2,3) C.(,0)(2,3) D.(,3) 2.若复数z(3i)(1i)，则z=（ ）

A.22 B.25 C.10 D.20 3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）

A.yx2 B.ysinx C.yxx D.y2 4.设等差数列an的前n项和为Sn，若a32,a1a45，则S6=（ ） A.10 B.9 C.8 D.7 5.设A(2,1),B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ） A.(x3)y2 B.(x3)y8 C.(x3)y2 D.(x3)y8 6.设a,b,c为非零实数，且ac,bc，则（ ） A.abc B.abc2 C.

222222223xab112c D. 2abc7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则 A.22S，且23S B.22S，且23S

C.22S，且23S D.22S，且23S

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8.设a,b为非零向量，则“abab”是“a与b共线”的（ ） A.充分二不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知函数f(x)sinx的部分图象如图所示，将

12sinx此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ） ①绕着x轴上一点旋转180°； ②沿x轴正方向平移；

③以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③ B.③④ C.②③ D.②④

2x10x1,x010.设函数f(x)若关于x的方程f(x)a(aR)有四个实数解

lgx,x0xi(i1,2,3,4)，其中x1x2x3x4，则(x1x2)(x3x4)的取值范围是（ ）

A.(0,101] B.(0,99] C.(0,100] D.(0,)

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在(x)的展开式中，常数项为 .（用数字作答）

12.若向量a(x2,2),b(1,x)满足ab3，则实数x的取值范围是 .

1x6x2y2221(b0)的一条渐近线方程为yx，则该上去西安的离心率13.设双曲线

24b为 . 14.函数f(x)sin(2x4)的最小正周期为 ；若函数f(x)在区间(0,a)上单调

递增，则的最大值为 .

15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生乘积的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生乘积的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：

①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；

②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；

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③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中，所有正确的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，底面ABCD满足

AD∥BC，且ABADAA12,BDDC22.

（Ⅰ）求证：AB平面ADD1A1；

（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.

17.（本小题满分14分）

已知ABC满足 ，且b6,A2，求sinC的值及ABC的面积. 3从①B成解答.

4，②a3,③a32sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18.（本小题满分14分）

2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：

（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； （Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（结论不要求证明）

19.（本小题满分14分）

设函数f(x)alnxx(a2)x，其中a∈R

2（Ⅰ）若曲线yf(x)在点（2，f(2)）处切线的倾斜角为

，求a的值； 42（Ⅱ）已知导函数f(x)在区间（1，e）上存在零点，证明:当x∈（1，e）时， f(x)＞-e

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20.（本小题满分15分）

x2y21，直线l1经过点M（m，0）设椭圆E:，直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直2线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点。

（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积； （Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n=0； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由。

21.（本小题满分14分）

对于正整数n，如果k(kN)个整数a1，a2，…，ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n，且a

1

+a2+…+ak=n，则称数组（a1，a2，…，ak）为n的一个“正整数分拆”。记a1，a2，…，ak

均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，…，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。

（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；

（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；

（Ⅲ）对所有的正整数n，证明:fn≤gn；并求出使得等号成立的n的值。

（注:对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，ak）与（b1，b2，…，bn），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，…，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）

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