以形助数,有效建模(2021年小学数学北师大版)

乘法分配律是小学数学中一个很重要的内容，有许多简便计算都要归结到乘法分配律。然而就是这看似简单的乘法分配律，要让学生掌握得熟门熟路却并不容易。因为在五条运算定律中，乘法的交换律、结合律与加法的交换律、结合律一样，都是同一种运算的规律，只有乘法分配律，沟通了乘法与加法、减法的联系，意义特殊，变式题丰富，直到五、六年级学习小数、分数的简便计算时，学生仍容易犯错。那么是依靠耐心不厌其烦地解说，还是发下狠心加大练习量？这些似乎都不是最好的教学策略。于是，我想到了借助“形”的直观来认识抽象的“数”，以形助数，实现对于乘法分配律的有效建模。

[案例描述]

一、创设情境，诱发问题。

希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。扩建后的操场面积有多大？

（1）思考，尝试解决。 （2）组织交流，分析比较。

生1：我先算扩建后操场的宽，再算扩建后操场的面积。60×（30＋10）= 60×40 = 2400（平方米）

生2：我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算扩建后操场的面积。60×30＋60×10 = 1800＋600 = 2400（平方米）

根据学生回答，教师板书以上两种算法。 二、点拨导学，构建模型。

师：刚才同学们用了两种不同的方法解决了同一个问题。现在请让我们回头来看一看，60×（30＋10）=2400，60×30＋60×10=2400，计算结果相等，我们是否可用“=”把这两个式子连接起来？

生：可以！

（教师随即板书：60×（30＋10）= 60×30＋60×10 ）

30米 10米 原来的面积 增加的面积 60米

师：你会读这个等式吗？

生：60乘30与10的和，等于60乘30的积加60乘10的积。

师：现在你能自己决定宽增加的米数，再写一些这样的等式吗？课件呈现

“形”，（如左下图），让学生看形思数，完成“自

主

60米 学习单1”。 自主学习单1 此为左图 算法1： 算法2： 结论： 扩建后的面积

30米 米 原来的面积 增加的面积 在组织交流时，教师有选择性地板书，并提问:观察一下，这些等式有什么特点？和同桌悄悄地说一说。

课件展示如下:

×（ + ）= × + ×

师：请你根据自己的猜测将数据填入下面的面积模型中（如左下图），并对自己的猜测进行验证，即完成“自主学习单2”。

学生在自主完成“自主学习单2”后，交流讨论：

生：我的猜测是70×（3＋2）=70×3＋70×2，然后通过计算，得出70×（3＋2）=70×5=350，70×3＋70×2=210＋140=350，他们的结果是相等的，所以，我的结论是：一个数乘两个数的和，等于用这个数分别与两个加数相乘，再把两个积加起来。

……

生：假如用字母表示，我认为可以这样表示：a×（b＋c）=a×b＋a×c。 师：在数学上，我们把这个规律叫做“乘法分配律”。

米 米 原来的面积 增加的面积 米

自主学习单2 此为我的猜测： ×（ + ）= × + × 左图 验证： 结论： 师：学习了乘法分配律，你认为有什么作用？ 生1：解决应用题时，可以用两种方法解答。 生2：可以使一些计算简便。 三、练习巩固，完善模型。 1.简便计算。

37×7＋37×3 48×19＋52×19 102×17 （1）学生计算。

（2）反馈交流后，引导学生用长方形面积模型解读算式与计算过程。 师：联系长方形面积模型，这些算式可以想像成求什么？

生1：第一个算式可以看作求两个长为37，宽分别为7和3的长方形面积之和。

师：先算7＋3，这时的两个长方形成什么样了？请大家把想像后的图画下来。（学生画示意图）

生2：这时两个长方形拼成了一个长为37，宽为10的长方形。 师：第二个算式呢？

生3：第二个算式可以看作长分别为48和52，宽都为19的两个长方形面积之和。先算48＋52，表示可以把这两个长方形沿宽拼起来，变成长为100，宽为19的一个长方形。

师：那么第三个算式又怎么解释？

生4：把一个长方形分成两个长方形了，也就是沿宽把长分成了100和2。 2.解决问题。

希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。增加的部分比原来的面积少多少？

生1：可以这样列示：60×30－60×10。 生2：：还可以这样列式60×（30－10）。

师：请大家计算一下，这两个算式的结果分别是多少？ 生：我算过了，都是1200平方米。

师：结果相等，是否也可以把这两个算式用“﹦”连接起来？ 生同意地点了点头，师板书：60×（30－10）﹦60×30－60×10。

师：那么你能用字母公式表示这个新规律吗？ 生：（a-b）×c=a×c-b×c 。 [分析与反思]

“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用数形结合的方法能使“数”与“形” 统一起来。在上述案例中，我把抽象的乘法分配律与计算扩建后长方形操场的面积对应起来，使学生在获得如何求扩建后长方形操场面积的同时，亲历探索乘法分配律的基本模型——乘法对于加法的分配律，从中体验了数形结合的策略，培养了学生归纳、抽象和概括的能力，并初步渗透了数学建模的思想方法。在随后的简便计算中，用长方形面积模型解读算式与计算过程，不仅可以使枯燥的算式形象化，同时也加深了学生对于乘法分配律的认识。最后，通过解决“增加的部分比原来的面积少多少”，构建乘法对于减法的分配律，帮助学生完善对乘法分配律的认识。

那么，在平时的教学实践中，我们该如何把握教材内容，挖掘“数”所对应的“形”，以形助数，实现有效建模呢？

1.教师首先要具有敏感性和自觉性，在日常教学中会将各种“形”（如实物图、线段图、集合图、树形图、长方形面积图或其他一些几何图形等）同一定的“数”结合起来，让学生亲历、体验“数形结合”的过程，使学生看到“数”就能联想到“形”，看到“形”就能联想到“数”，即看数思形，看形思数，数形结合思考问题。

例如，在低年级数学活动课中让学生玩积木，也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活，比数更贴近生活，是更基本的东西。假如在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的，还让他们数一数某块积木有几个尖（顶点）、几条棱、几个面，就能在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

又如，在认识加、减、乘、除法时，可以通过大量的实物图、几何图来帮助学生理解算理，建立数学模型。三下数学广角的重叠问题，学生理解起来比较抽象，教师可引导学生用集合图来形象地表示其间的数量关系，从而获得解决同类“重叠问题”的一般方法。五下《找次品》、六上《打电话》教学中，可结合树形图来分析。在解决问题教学中，通过数形结合，将题中的数量关系翻译成“图形”，再根据图形抽象出等式，便于学生理解。如果说要在探究规律中渗透

数形结合思想，我们可由乘法分配律联想到，乘法结合律可与求几个完全相等的长方形面积之和对应起来。

另外，在一些习题中也可将“数”巧妙地转化成“形”，从而获得问题的求解。如二下找规律填数习题：1、3、6、10、（ ），与之对应的“形”可为右上图；算式1-1111---=？可转化成图24816形 ，空白部分占整个大正方形面积的几分之几就是最后的计算结果。这样，通过把枯燥的数（算式）转化成规则的图形，使学生在体会数学美妙的同时，也充分感受到数形结合的直观性与便捷性，有效沟通了数学知识之间的联系，凸显数学的本质特征，实现有效建模。

2.在建模教学中，教师应科学合理地渗透数形结合思想，并持之以恒，不断强化。任何一种数学思想都是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的，也就是只有在学生一次次不断深入操作的基础上，实践经验积累到一定程度时，才能有所发现，才能悟出其中的思想，然后再灵活运用。因此，在教学实践中，教师不能以“知识”的形式告诉学生，而应在把握渗透可行性的基础上，让学生在不断的实践中体会出来。这就要求教师注意渗透的长期性，让数形结合思想在教学中的渗透，经历一个循环往复、螺旋上升的过程，从而使学生真正地有所领悟。

3.在学生领悟数形结合思想之后，应加强解题教学，引导灵活运用。波利亚曾指出，“数学教学的首要任务就是加强解题训练”，认为解题应作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。加强解题教学，一方面通过解题和反思活动，总结归纳出解题方法，并提炼上升到思想高度；另一方面在解题活动中，应充分发挥思想对发现解题途径的定向、联想和转化功能，突出它对解题的指导作用。为此，在解题教学中，教师要善于通过选择典型例题进行解题示范，并在解题过程中引导学生开展反思活动，突出数形结合思想对解题的指导作用。

数形结合，是现实世界使然，是数学本身的需要，更是小学生认知的要求。 在小学数学建模教学中，以形助数，让学生亲自经历模型建立的“再创造”过程，有利于学生获得丰富的感性认识，形成清晰表象，从而实现有效建模。