2012届卢湾区高三一模数学文

上海市卢湾区2012届高三上学期期末质量监测数学（文）试题

2012.1

（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式x2x10的解集为 ．

1，则cos2 ． 313．函数ylnx(x0)的反函数为 ．

2k4．若集合A{x|0≤x≤5,xZ}，B{x|x,kA}，则AB （用列举法

22．若sin表示）．

5．若函数f(x)axb的零点为x2，则函数g(x)bx2ax的零点是x0和x ．

a1b1c1a1xb1yc1,6．已知二元一次方程组，若记a，b，c，则该方程组

axbycb2c2a2222存在唯一解的条件为 （用a、b、c表示）． 7．若(1ax)5110xbx2a5x5，则b ．

1tt2tn1 ． 8．若常数t满足|t|1，则limnnt29．已知数列{an}，若a114，an1an（nN*），则使anan20成立的n的值

3是 ．

10．甲、乙、丙三人同在某公司上班，若该公司规定，每位职工可以在每周七天中任选两天休息（如选定星期一、星期三），以后不再改动，则他们选定的两个休息日相同的概率是 （结果用数值表示）．

xy1≥0,11．在平面直角坐标系中，若不等式组x1≤0,（a为常数）所表示的平面区

axy1≥0域内的面积等于2，则a的值为 ．

12．为了解某校高三学生的视力情况，随机查了该校100名高三学生的视力情况，得到分布直方图，如右图，由于不慎将部分数据失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组

0.30.14.34.44...74.84.95.05.15.2视力

频率 组距 地抽频率丢的频

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数成等差数列，那么最大频率为 ，视力在4.6到5.0之间的学生数为 ． 13．已知函数f(x)abxc(b0,b1)，x[0,)，若其值域为[2,3)，则该函数的一个解析式可以为f(x) ．

14．若对于满足1≤t≤3的一切实数t，不等式x2(t2t3)xt2(t3)0恒成立，则x的取值范围为 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在复平面内，复数z(1i)i（i为虚数单位）对应的点位于（ ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．“2k(kZ)”是“tantan”成立的（ ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

17．若函数f(x)同时满足下列三个条件：①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相同，则函数f(x)可以是（ ）．

exexA．f(x)sinx（≤x≤） B．f(x)

222C．f(x)x3 D．f(x)ln1x 1x18．已知函数f(x)|x21|，若0xy，且f(x)f(y)，则（ ）．

A．y4x2（0x2） B．y4x2（0x2） C．y2x2（0x2） D．y2x2（0x1）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2bcosC，bc3a． 求sinA的值．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

已知函数f(x)|xa|，g(x)x22ax1（a为正常数），且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等．

（1）求a的值；

（2）若h(x)f(x)bg(x)（b为常数），试讨论函数h(x)的奇偶性．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

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已知a、b是两个不共线的非零向量．

1（1）设OAa，OBtb（tR），OC(ab)，当A、B、C三点共线时，求t的

3值．

（2）如图，若aOD，bOE，a与b夹角为120，上一动点，设|a||b|1，点P是以O为圆心的圆弧DE，求xy的最大值． OPxODyOE（x,yR）

EP第（2）小题

OD22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切nN*都有bnTbn，则称数列{bn}为周期数列，T是它的一个周期．例如：

数列a，a，a，a，„ ① 可看作周期为1的数列； 数列a，b，a，b，„ ② 可看作周期为2的数列； 数列a，b，c，a，b，c，„ ③ 可看作周期为3的数列„

an为正奇数，（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是an试再写出该数列的一

bn为正偶数.个通项公式；

（2）求数列③的前n项和Sn；

（3）在数列③中，若a2,b,c1，且它有一个形如bnAsin(n)B的通项公式，其中A、B、、均为实数，A0，0，||式bn．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数f(x)12，求该数列的一个通项公2x1t（t为常数）． txy（1）当t1时，在图中的直角坐标系内作出函数

yf(x)的大致图像，并指出该函数所具备的基本性质

的两个（只需写两个）．

（2）设anf(n)（nN*），当t10，且tN*试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．

11O11中x时，和

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（3）利用函数yf(x)构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令，„ x2f(x1)，x3f(x2)，„，xnf(xn1)（n≥2，nN*）

在上述构造过程中，若xi（iN*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．

若可用上述方法构造出一个常数列{xn}，求t的取值范围．

数学参及评分标准 2012.1

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

71 3．ye2x(xR) 4．{0,1,2} 5． 9216．a与b不平行 7．40 8． 9．21

t1110． 11．（文）3 12．0.27，78

441x113．53（满足0b1的b均可） 14．(,4)(9,)

21． 2．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得5分，否则一律得零分． 15．B 16．D 17．C 18．D 三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）

由a2bcosC及正弦定理，得sinA2sinBcosC，又A(BC)， 可化为sin(BC)2sinBcosC，展开整理得sin(BC)0，（4分） 在三角形中得BC0，即BC，可得bc，（6分） 于是由bc3a，得2b3a，因此cosC可得sinCa1（8分） ，

2b322，（10分） 3故sinAsin(2C)2sinCcosC42．（12分） 920．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． （1）由题意，f(0)g(0)，即|a|1，又a0，故a1．（4分） （2）h(x)f(x)bg(x)|x1|b|x1|，其定义域为R，（8分）

h(x)|x1|b|x1||x1|b|x1|．

若h(x)为偶函数，即h(x)h(x)，则有b1，此时h(2)4，h(2)4， 故h(2)h(2)，即h(x)不为奇函数；

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若h(x)为奇函数，即h(x)h(x)，则b1，此时h(2)2，h(2)2， 故h(2)h(2)，即h(x)不为偶函数；

综上，当且仅当b1时，函数h(x)为偶函数，且不为奇函数，（10分） 当且仅当b1时，函数h(x)为奇函数，且不为偶函数，（12分） 当b1时，函数h(x)既非奇函数又非偶函数．（14分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（1）由题意，可设ABkBC，（2分） 11将ABOBOAtba，BCOCOBa(t)b代入上式，

33k11得tbaak(t)b，解得k3，t．（6分）

33213)． （2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D(1,0)，E(,22设POD（0≤≤1cos,sin)，由O），则P(，得cPxODyOEosxy，

32213sin，xcossin，siny，于是y（10分）

233于是xycos3sin2sin()，

6故当时，xy的最大值为2．（14分）

3POD另解：设（0≤≤），由OPODxODODyOEOD，

311OPOExODOEyOEOE，可得cosxy，cos()xy，

322于是xy2[coscos()]2sin()，

36故当时，xy的最大值为2．

322．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

（1）an[1(1)n1][1(1)n]或ana|sin（2）当n3k1时，Sn当n3k2时，Sna2b2nn（3分） |b|cos|等．

22n1（5分） (abc)a；

3n2（7分） (abc)ab；

3n当n3k3时，Sn(abc)（kN）．（9分）

322（3）由题意，0，应有，（10分） 3，得3第5页

于是bnAsin(2n)B， 32Asin()B2,(1)3411把b12，b2，b31代入上式得Asin()B,(2)（12分）

322Asin(2)B1,(3)由(1)(2)可得Acos（13分）

3A51，再代入(1)的展开式，可得sinB，与(3)联立得B，2242

3（14分） Asin，于是tan3，因为||，所以，

232于是可求得A3．（15分）

2n1故bn3sin()（nN*）

3322n1或写成bn3sin[．（16分） (3k1)]（kZ,nN*）

33223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． （1）当t1时，f(x)图像如图（2分） 基本性质：（每个2分）

奇偶性：既非奇函数又非偶函数； 单调性：在(,1)和(1,)上分别递增； 零点：x0；

最值：无最大、小值．（6分）

11O11x1． 11xx1yxn1t1， 1tnnt当1≤n≤[t]，nN*时，数列单调递增，且此时an均大于1，

（2）an当n≥[t]1，nN*时，数列单调递增，且此时an均小于1，（8分）

[t]1t因此，数列中的最大项为a[t]，（10分）

t[t][t]2t最小项为a[t]1．（12分）

t1[t]（3）（文）根据题意，只需当xt时，方程f(x)x有解， 亦即方程x2(1t)x1t0有不等于t的解，（14分）

将xt代入方程左边，得左边为10，故方程不可能有xt的解．（16分） 由(1t)24(1t)≥0，解得t≤-3或t≥1，

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即实数t的取值范围是(,3][1,)．（18分）

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