02 第二节 常用统计分布

取得总体的样本后, 通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断, 为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布, 除在概率论中所提到的常用分布外, 本节还要介绍几个在统计学中常用的统计分布:

2分布 t分布 F分布

内容分布图示

★ 引言 ★ 分位数

★ 2分布 ★ t分布 ★ F分布

★ 内容小结 ★ 习题5-2

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★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 课堂练习

内容要点:

一、分位数

设随机变量X的分布函数为F(x), 对给定的实数(01), 若实数F满足不等式

P{XF},

则称F为随机变量X的分布的水平的上侧分位数.

若实数T满足不等式

P{|X|T},

则称T为随机变量X的分布的水平的双侧分位数.

二、2分布

定义1 设X1,X2,,Xn是取自总体N(0,1)的样本, 则称统计量

22 (1) 2X12X2Xn服从自由度为n的2分布,记为2~2(n).

这里, 自由度是指(1)式右端所包含的变量的个数.

2(n)分布的概率密度:

n11x122f(x)2n/2(n/2)xe,x0.

0,x0其中()为Gamma函数，f(x)的图形如5-2-3.

1.2分布的数学期望与方差:

若2~2(n), 则 E(2)n,D(2)2n. 2．2分布的可加性:

22222~2(n),且1若12~2(m),2相互，则 12~2(mn). ,23．2分布的分位数:

2设2~(n)，对给定的实数(01), 称满足条件

2P{2(n)}2(n)f(x)dx

2的点(n)为2(n)分布的水平的上侧分位数. 简称为上侧分位数. 对不同的与n, 分位数的值已经编制成表供查用(参见附表).

三、t分布

定义2 设X~N(0,1),Y~2(n),且X与Y相互,则称

Xt

Y/n服从自由度为n的t分布, 记为t~t(n),

t(n)分布的概率密度:

f(x)[(n1)/2]x1nn(n/2)2n12,t

t分布具有如下性质：

1．f(x)的图形关于y轴对称，且limf(x)0;

x2．当n充分大时，t分布近似于标准正态分布; 3．t分布的分位数:

设T~t(n)，对给定的实数(01), 称满足条件

P{Tt(n)}t1(n)t(n).

t(n)f(x)dx

的点t(n)为t(n)分布的水平的上侧分位数. 由密度函数f(x)的对称性，可得

类似地，我们可以给出t分布的双侧分位数

P{|T|t/2(n)}t/2(n)f(x)dxt/2(n)f(x)dx,

显然有

2对不同的与n, t分布的双侧分位数可从附表查得.

P{Tt/2(n)};P{Tt/2(n)}2.

四、F分布

定义3 设X~2(m),Y~2(n),且X与Y相互, 则称

X/mnX FY/nmY服从自由度为(m,n)的F分布, 记为F~F(m,n).

F(m,n)分布的概率密度:

m11(mn)mm2m2[(mn)/2],x0 x1xf(x)(m/2)(n/2)nnnx00,F分布具有如下性质:

1．若X~t(n)，则X2~F(1,n);

12．若F~F(m,n), 则 ~F(n,m).

F3．F分布的分位数:

设F~F(n,m)，对给定的实数(01),称满足条件

P{FF(n,m)}F(n,m)f(x)dx

的点F(n,m)为F(n,m)分布的水平的上侧分位数. F分布的上侧分位数的可自附表查得.

4．F分布的一个重要性质:

1F(m,n).

F1(n,m)此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数.

例题选讲: 分位数

例1（讲义例1）设0.05, 求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.

2分布

例2（讲义例2）设X1,,X6是来自总体N(0,1)的样本, 又设

Y(X1X2X3)2(X4X5X6)2

试求常数C, 使CY服从2分布.

t分布

例3（讲义例3）设随机变量X~N(2,1), 随机变量Y1,Y2,Y3,Y4均服从N(0,4), 且X,Yi(i1,2,3,4)都相互, 令

T4(X2)Yi14,

i2试求T的分布, 并确定t0的值, 使P{|T|t0}0.01.

F分布

例4（讲义例4）设总体X服从标准正态分布, X1,X2,,Xn是来自总体X的一个简单随机样本, 试问统计量

n5252Y1XiXi,n5

5i1i1服从何种分布?

课堂练习

1.设X1,X2,X3,X4,X5是来自正态总体N(0,22)的样本.

C(X1X2)(1) 求C使统计量Y1服从t(m)分布.

222X3X4X5(X1X2)2(2) 求Y2所服从的分布.

(X4X3)2