函数的奇偶性
知识集结
知识元
根据奇偶性求值
知识讲解
一、奇函数 1、定义
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.点拨
（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； （2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），
第 1 页
当x＞0时，f（x）＝x2＋x，
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x 3.命题方向
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式． 二、偶函数 1.定义
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 2.点拨
（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？ （2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 3.命题方向
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
例题精讲
根据奇偶性求值
例1.
（2020春∙温州期末）设y=f（x）是定义域为R的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=|x-1|，则f（-1）=（ ）
第 2 页
A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】A 【解析】 题干解析:
∵f（x）是定义在R上的偶函数，且x∈（0，2）时，f（x）=|x-1|； ∴f（-1）=f（1）=0。
例2.
（2020春∙吉林期末）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当
0≤x≤1时，f（x）=x3，则=（ ）
A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 题干解析:
∵奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称， ∴f（2+x）=f（-x）=-f（x）， 则f（x+4）=-f（x+2）=f（x）， 则f（x）是周期为4的周期函数， 则
=f（10+）=f（2+）=-f（）=-（）3=-，
例3.
（2020春∙南关区校级月考）下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（A．f（x）=-（x-1）2 B． C．f（x）=3|x| D．f（x）=cosx 【答案】B 【解析】 题干解析:
根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）=-（x-1）2，为二次函数，不是偶函数，不符合题意；
第 3 页
）
对于B，f（x）=log2，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增，符合题意；
对于C，f（x）=3|x|，是偶函数但在（-∞，0）上单调递减，不符合题意；
对于D，f（x）=cosx是余弦函数，是偶函数但在（-∞，0）上不是单调函数，不符合题意；
例4.
（2020∙栖霞市模拟）已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f
（x）=2x，则=（ ）
A．2 【答案】B 【解析】 题干解析:
B． C． D． ∵f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数， ∴f（-x+2）=f（x+2）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），则f（x）的周期T=4， 则
=f（
）=f（1010-）=f（252×4+2-）=f（2-）=f（）
=2=2∙
=2，
函数的奇偶性中的含参数问题
知识讲解
一、奇函数 1、定义
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），
第 4 页
那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.点拨
（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； （2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）
⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x 3.命题方向
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式． 二、偶函数 1.定义
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 2.点拨
（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？ （2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 3.命题方向
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
例题精讲
第 5 页
函数的奇偶性中的含参数问题
例1.
已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋1）．若f（a）＝﹣2，则实数a＝ ．
【答案】 ﹣1
【解析】
题干解析:令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣x（1﹣x），又f（x）为奇函数，所以当x＜0时有f（x）＝x（1﹣x），令f（a）＝a（1﹣a）＝﹣2，得a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或a＝2（舍去）．故应埴﹣1
例2.
若f（x）＝2x＋a•2﹣x为奇函数，则a＝ ． 【答案】 ﹣1
【解析】
题干解析:对于f（x）＝2x＋a•2﹣x，易得其定义域为R，关于原点对称，若f（x）＝2x＋a•2﹣x为奇函数，则必有f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即2﹣x＋a•2x＝﹣（2x＋a•2﹣x）恒成立，变形可得（a＋1）（2x＋2﹣x）＝0恒成立，则必有a＋1＝0，即a＝﹣1，故答案为﹣1． 例3.
设函数f（x）＝【答案】 ﹣1
【解析】
为奇函数，则实数a＝ ．
题干解析:∵函数为奇函数，∴f（x）＋f（﹣x）＝0，∴f（1）＋f（﹣1）＝0，即2（1＋a）＋0＝0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．
根据函数的奇偶性求函数解析式
第 6 页
知识讲解
一、奇函数 1、定义
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.点拨
（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； （2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）
⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x 3.命题方向
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式． 二、偶函数 1.定义
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 2.点拨
（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？ （2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
第 7 页
3.命题方向
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
例题精讲
根据函数的奇偶性求函数解析式
例1.
设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋f（x）表达式为 ．
【答案】
）＋1，则
【解析】
＝﹣f（x），f（x）＝x（1
题干解析:设x＜0，则﹣x＞0，∴﹣
）﹣1，又∵f（x）是R上的奇函数∴当x＝0时，f（0）＝0．故答案为：
．
例2.
已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，解析式. 【答案】 见解析
，求f（x）在R上的
第 8 页
【解析】
题干解析:当x＜0时，﹣x＞0（x）∴
∴
，∵f（x）为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f
当x＝0时∵f（﹣x）＝﹣f（x）∴f（﹣0）＝﹣f
（0）∴f（0）＝0（12分）∴例3.
已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，的解析式为 ．
【答案】
，则f（x）
【解析】
）
题干解析:设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，＋∞）∴f（﹣x）＝﹣x（1＋＝﹣x（1﹣
）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x（1﹣
）而f（0）＝0综上所述f（x）的解析式为
）即f（x）＝x（1﹣
故答案为
备选题库
知识讲解
本题库作为知识点“函数奇偶性的定义”的题目补充.
例题精讲
第 9 页
备选题库
例1.
（2020秋∙上高县校级月考）已知一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}，则a+b=（ ）
A．-1 【答案】A 【解析】 题干解析:
B．1 C．0 D．2 因为一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于-2，所以a+b=1+-2=-1。
例2.
（2020∙西湖区校级模拟）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）=-x（x+2） C．f（x）=-x（x-2） 【答案】A 【解析】 题干解析:
任取x<0则-x>0， ∵x≥0时，f（x）=x2-2x， ∴f（-x）=x2+2x，①
又函数y=f（x）在R上为奇函数 ∴f（-x）=-f（x）②
由①②得x<0时，f（x）=-x（x+2）
B．f（x）=x（x-2） D．f（x）=x（x+2） 例3.
（2020秋∙浏阳市校级期中）若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（ ）
A．f（x）∙f（-x）>0 第 10 页
B．f（x）∙f（-x）<0 C．f（x） ∵函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数 ∴f（-x）=-f（x） ∴f（x）∙f（-x）=f（x）[-f（x）]=-[f（x）]2<0 例4. y=f（x）为奇函数，当x>0时f（x）=x（1-x），则当x<0时，f（x）=______。 【答案】 x2+x 【解析】 题干解析:∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）=x（1-x），∴当x<0时，-x>0，f（x）=-f（-x）=-（-x（1+x））=x（1+x），即x<0时，f（x）=x（1+x）， 例5. （2020秋∙上高县校级月考）已知一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}，则a+b=（ ） A．-1 【答案】A 【解析】 题干解析: B．1 C．0 D．2 因为一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}， 根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于-2，所以a+b=1+-2=-1。 例6. （2020∙西湖区校级模拟）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（ ） A．f（x）=-x（x+2） C．f（x）=-x（x-2） B．f（x）=x（x-2） D．f（x）=x（x+2） 第 11 页 【答案】A 【解析】 题干解析: 任取x<0则-x>0， ∵x≥0时，f（x）=x2-2x， ∴f（-x）=x2+2x，① 又函数y=f（x）在R上为奇函数 ∴f（-x）=-f（x）② 由①②得x<0时，f（x）=-x（x+2） 例7. （2020秋∙浏阳市校级期中）若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（ ） A．f（x）∙f（-x）>0 B．f（x）∙f（-x）<0 C．f（x） ∵函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数 ∴f（-x）=-f（x） ∴f（x）∙f（-x）=f（x）[-f（x）]=-[f（x）]2<0 具体函数奇偶性的证明 知识讲解 一、奇偶性的判定 1.定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶 第 12 页 函数函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求的关系，如果有 函数，否则是非奇非偶函数. 2.求和判别法 如果对于定义域内的任意一个，若若 3.作差判别法 对于函数定义域内的任意一个，若 ，则 4.作商判别法 是偶函数. ，则 是偶函数. ，则函数是偶函数，如果有 ；最后比较和，则函数是奇 ，则函数是奇函数； ，则函数是奇函数；若 对于函数定义域内的任意一个，设，若，则函数是奇函 数；若二、点拨 ，则是偶函数. 1. 对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函 数，所以判断过程中，多要用赋值法，常赋一些特殊值. 2. 对于分段函数的奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，在考虑定义，由于它是分段函 数，所以分类讨论 例题精讲 具体函数奇偶性的证明 例1. 判断函数的奇偶性 第 13 页 ； ： ； ： ； ： ． 【答案】 既是奇函数又是偶函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 【解析】 题干解析:第一个函数的定义域是{x|x＝±3}，解析式为：f（x）＝0，f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（x），∴f（x）既是奇函数又是偶函数．第二个函数的定义域是{x|﹣1≤x＜1}，定义域不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数．第三个函数的定义域是{x|x是实数}，解析式为分段函数的形式，设x＜0，则，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x2﹣x，f（x）＝x2＋x，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．第四个函数的定义域是{x|x＝1}，定义域不关于原点对称，故f（x）是非奇非偶函数．故答案为既是奇函数又是偶函数、是偶函数、是奇函数、是非奇非偶函数． 例2. f（x）＝A．原点对称 C．直线y＝﹣x对称 的图象关于（ ） B．直线y＝x对称 D．y轴对称 【答案】A 【解析】 题干解析: 因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称． f（x）＝＝， 则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数． 第 14 页 故函数f（x）的图象关于原点对称． 故选A． 例3. 已知f（x）＝x（ ＋）（x≠0）． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）证明f（x）＞0． 【答案】 见解析 【解析】 题干解析:（1）f（x）的定义域（﹣∞，0）∪（0，＋∞）关于原点对称，下面只要化简f（﹣x）．f（﹣x）＝﹣x＋）＝x（ ＝﹣x（ ＋）＝﹣x（ ＋）＝f（x），故f（x）是偶函数．（2）证明：当x＞0时， 2x＞1，2x﹣1＞0，所以f（x）＝x（＋）＞0．当x＜0时，因为f（x）是偶函数所以f（x）＝f（﹣x）＞0．综上所述，均有f（x）＞0． 抽象函数的奇偶性 知识讲解 一、奇偶性的判断 1.定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 ；最后比较 和 第 15 页 的关系，如果有 函数，否则是非奇非偶函数. 2.求和判别法 ，则函数是偶函数，如果有，则函数是奇 如果对于定义域内的任意一个，若若 3.作差判别法 对于函数定义域内的任意一个，若 ，则 4.作商判别法 是偶函数. ，则 是偶函数. ，则函数是奇函数； ，则函数是奇函数；若 对于函数定义域内的任意一个，设，若，则函数是奇函 数；若二、点拨 ，则是偶函数. 1. 对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函 数，所以判断过程中，多要用赋值法，常赋一些特殊值. 2. 对于分段函数的奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，在考虑定义，由于它是分段函 数，所以分类讨论 例题精讲 抽象函数的奇偶性 例1. 定义在R上的函数y＝f（x），对任意x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），判断函数y＝f（x）的奇偶性并证明． 第 16 页 【答案】 见解析 【解析】 题干解析:f（x）为奇函数证明：∵定义在R上的函数y＝f（x），对任意x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），∴令x1＝x2＝0，有f（0＋0）＝f（0）＋f （0）．解得f（0）＝0．令x1＝﹣x，x2＝x，有f（﹣x＋x）＝f（﹣x）＋f（x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数． 例2. 已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y） （x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证明f（x）是偶函数． 【答案】 见解析 【解析】 题干解析:证明：令x＝y＝0∵f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）∴f（0）＋f（0）＝2f（0）•f（0）∵f（0）≠0，∴f（0）＝1令x＝0∵f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）∴f（y）＋f（﹣y）＝2f（0）•f（y）∴f（﹣y）＝f（y）即f（x）是偶函数. 例3. 若函数f（x）对一切x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）， （1）试判断f（x）的奇偶性； （2）若f（﹣3）＝a，用a表示f（12）． 【答案】 见解析 【解析】 题干解析:（1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．又∵函数对一切x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），∴令x＝y＝0，得f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0．再令y＝﹣x，得f（0）＝f（x）＋f（﹣x），∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（2）∵f（﹣3）＝a且f（x）为奇函数，∴f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣a．又∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），x、y∈R，∴f（12）＝f（6＋6）＝f（6）＋f（6）＝2f（6）＝2f（3＋3）＝4f（3）＝﹣4a．故f（12）＝﹣4a． 第 17 页 备选题库 知识讲解 本题库作为知识点“函数奇偶性的证明”的题目补充. 例题精讲 备选题库 例1. （2020秋∙平罗县校级月考）下列函数中，是奇函数且在定义域内为增函数的是（ ） A．y=x2 C．y=x-1 【答案】D 【解析】 题干解析: B．y=ex D．y=x+sinx y=x2为偶函数，y=ex为非奇非偶函数，y=x-1在定义域内没有单调性，∴A，B，C都错误； y=x+sinx是奇函数，且y′=1-cosx≥0，则y=x+sinx在定义域内为增函数，∴D正确。 例2. （2020秋∙金凤区校级月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，周期为4，且当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（ ） A．1 【答案】B 【解析】 题干解析: B．-1 C．-2 D．2 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，周期为4， 又x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1）， 则f（31）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-1， 第 18 页 例3. （2020秋∙赫山区校级月考）设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（2020.5）等于（ ） A．1.5 【答案】B 【解析】 题干解析: B．-0.5 C．0.5 D．-1.5 由（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=f（x）， ∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（-x）=-f（x）， ∵0≤x≤1时，f（x）=x， 则f（2020.5）=f（4×504+3.5）=f（3.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5 例4. （2020秋∙项城市校级月考）已知函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）=x2+x-2则f（-2）=（ ） A．4 【答案】C 【解析】 题干解析: B．3 C．2 D．1 ∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∵f（x）+g（x）=x2+x-2， 则f（-x）+g（-x）=x2-x-2， ∴f（x）-g（x）=x2-x-2， 联立可得，f（x）=x2-2 ∴f（-2）=2 例5. （2020秋∙项城市校级月考）已知函数f（x）=ax2-bx-3a-b是偶函数，且其定义域为[1-a，2a]，则（ ） A．，b=0 B．a=-1，b=0 第 19 页 C．a=1，b=1 【答案】B 【解析】 题干解析: 由f（x）=ax2-bx-3a-b是偶函数，可得b=0， D．，b=-1 由定义域为[1-a，2a]关于原点对称，1-a+2a=0，即a=-1， 例6. （2020秋∙鹿城区校级月考）下列函数在定义域内是奇函数的是（ ） A．y=-x2 【答案】D 【解析】 题干解析: B．y=x+1 C．y=x-2 D． 函数y=-x2的图象关于y轴对称，是偶函数，不是奇函数； 函数y=x+1的图象不关于原点中心对称，不是奇函数； 函数y=x-2=，定义域是{x|x≠0}，满足f（-x）=f（x），是偶函数，不是奇函数； 函数y=的图象关于原点中心对称，函数是奇函数。 例7. （2020秋∙中原区校级月考）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ） A．y=x2 C．y=2|x| 【答案】B 【解析】 题干解析: 根据题意，依次分析选项： B．D．y=cosx 对于A，y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意； 第 20 页 对于B，y=ln合题意； =-ln|x|=，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减，符 对于C，y=2|x|，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意； 对于D，y=cosx，是偶函数，但在区间（0，+∞）上不是减函数，不符合题意； 与奇偶性相关的不等式与最值问题 知识讲解 一、函数奇偶性的函数特征 1. 奇函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m. 2. 偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 二、点拨 由函数图象的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 例：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 三、命题方向 本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结. 例题精讲 第 21 页 与奇偶性相关的不等式与最值问题 例1. 己知奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（ ） A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜1或x＞2} C．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3} 【答案】D 【解析】 题干解析: 由题意画出f（x）的草图如下， 因为（x﹣1）f（x﹣1）＞0，所以（x﹣1）与f（x﹣1）同号， 由图象可得﹣2＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜2， 解得﹣1＜x＜1或1＜x＜3， 故选D． 例2. 已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，在（0，＋∞）上单调递减，且f（2）＝0，若f（x﹣1）≤0，则x的取值范围为 ． 【答案】 第 22 页 [﹣1，1）∪[3，＋∞） 【解析】 题干解析:∵奇函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，且f（2）＝0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）＝f（2）＝0，作出函数f（x）的草图如图：在则f（x）≤0的解为x≥2或﹣2≤x＜0，由x﹣1≥2或﹣2≤x﹣1＜0，得x≥3或﹣1≤x＜1，故不等式f（x﹣1）≤0的解集是[﹣1，1）∪[3，＋∞）， 故答案为：[﹣1，1）∪[3，＋∞） 例3. 若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）＝0，则不等式xf（x＋1）＜0的解集为 ． 【答案】 （0，1）∪（﹣3，﹣1） 【解析】 题干解析:∵函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）＝0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数，且f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，∴当x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0，（如图）则不等式xf（x＋1）＜0等价为 ，则 或 或 ，即 或 ，解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1，故不 第 23 页 等式的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1），故答案为：（0，1）∪（﹣3，﹣1） 备选题库 知识讲解 本题库作为知识点“函数奇偶性的图象与性质”的题目补充. 例题精讲 备选题库 例1. （2020春∙城关区校级月考）函数 的图象关于（ ）对称。 A．x轴 【答案】C 【解析】 题干解析: ∵ 又f（-x）=lg =lg=-lg B．y轴 C．原点 D．y=x 的定义域（-1，1）， =-f（x），即函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称。 第 24 页 例2. （2020∙思明区校级模拟）若函数f（x）=log2（x+1）图象与函数y=g（x）的图象关于原点对称，则（ ） A．g（x）=log2（1-x） B．g（x）=-log2（x+1） C．g（x）=-log2（x-1） D．g（x）=-log2（1-x） 【答案】D 【解析】 题干解析: 设Q（x，y）是函数g（x）的图象上任意一点，其函数f（x）图象上关于原点对称的点是P（-x，-y）。 因为点P在函数f（x）=log2（x+1）的图象上，所以-y=log2（-x+1）， 即y=g（x）=-log2（1-x）， 例3. （2020∙桃城区校级模拟）下列函数中，其图象与函数y=log2x的图象关于直线y=1对称的是（ ） A．y=log2 C．y=log2（2x） 【答案】B 【解析】 题干解析: B．y=log2 D．y=log2（4x） 设P（x，y）为所求函数图象上的任意一点，它关于直线y=1对称的点是Q（x，2-y）。 由题意知点Q（x，2-y）在函数y=log2x的图象上， 则2-y=log2x． 即y=2-log2x=log2． 例4. （2020∙西湖区校级模拟）函数f（x）=x3的图象（ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 第 25 页 C．关于直线y=x对称 【答案】D 【解析】 题干解析: f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）， 则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称， D．关于原点对称 例5. （2020秋∙明山区校级期末）函数 的图象关于（ ）对称 A．原点 【答案】D 【解析】 题干解析: = + B．y=x C．x轴 D．y轴 =3x+3-x。 则f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数， 则函数f（x）的图象关于y轴对称， 例6. （2020∙西湖区校级模拟）f（x）= 的图象下列叙述正确的是（ ） A．关于原点对称 C．关于y轴对称 【答案】C 【解析】 题干解析: ∵f（x）= = ， B．关于x轴对称 D．没有对称性 ∴f（-x）==f（x）， ∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称 第 26 页 例7. （2020∙西湖区校级模拟）函数f（x）=的图象关于（ ） A．x轴对称 C．原点对称 【答案】C 【解析】 题干解析: 根据题意，有x∈R，其定义域关于原点对称， B．y轴对称 D．直线x=1对称 =-1 ∴f（-x）=-f（x）， ∴f（x）是奇函数，其图象关于原点对称， 奇偶性和单调性的综合问题 知识讲解 一、奇偶性的综合 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用． 二、奇偶性的性质 1. 奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； 2. 奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； 3. 偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； 4. 对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝ ． 第 27 页 解：由题意可知，f（x）的定义域为R， 由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1 5.已知函数 ①若是奇函数，则； ②若 是偶函数，则 . 6.常见结论 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数×偶函数=偶函数 三、命题方向 奇偶性与单调性的综合. 例题精讲 奇偶性和单调性的综合问题 例1. 已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，若（2），则实数a的取值范围是（ ） A．a≤2 B．a＜﹣2或a＞2 C．a≥﹣2 D．﹣2≤a≤2 【答案】B 【解析】 题干解析: ∵y＝f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数 ∴y＝f（x）在【0，＋∞）是增函数 第 28 页 f（a）＞f ∵f（a）＞f（2）， ∴|a|＞2 ∴a＜﹣2或a＞2 故选B 例2. 已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），则 A．0 【答案】A 【解析】 题干解析: 若x≠0，则有 ，取 ， B． C．1 D． 的值是（ ） 则有： ∵f（x）是偶函数，则由此得 于是，故选A． 第 29 页 例3. 已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ax﹣a﹣x＋2（a＞0，且a≠1）．若g（a）＝a，则f（a）＝（ ） A．2 B． C． D．a2 【答案】B 【解析】 题干解析: ∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数 由f（x）＋g（x）＝ax﹣a﹣x＋2 ① 得f（﹣x）＋g（﹣x）＝a﹣x﹣ax＋2＝﹣f（x）＋g（x） ② ①②联立解得f（x）＝ax﹣a﹣x，g（x）＝2 由已知g（a）＝a ∴a＝2 ∴f（a）＝f（2）＝22﹣2﹣2＝故选：B 例4. 设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）＋f（﹣x）＝ 0；②对任意x∈[﹣1，1]，都有，且f（﹣1）＝﹣1．若函数 f（x）≤t2﹣2at＋1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（ ） 第 30 页 A．﹣2≤t≤2 C．﹣≤t≤ B．t≤或t＝0或t≥ D．t≤﹣2或t＝0或t≥2 【答案】D 【解析】 题干解析: 由f（x）＋f（﹣x）＝0得，f（x）＝﹣f（﹣x）， 则定义域为R的函数f（x）是奇函数， ∵对任意x∈[﹣1，1]，都有∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数， ， 则f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）＝﹣f（﹣1）＝1， ∵f（x）≤t2﹣2at＋1对所有的x∈[﹣1，1]都成立， ∴t2﹣2at≥0对所有的a∈[﹣1，1]都成立， 设g（a）＝t2﹣2at，a∈[﹣1，1]， 则故选D． ，∴，解得t≤﹣2或t＝0或t≥2， 备选题库 知识讲解 本题库作为知识点“函数奇偶性综合”的题目补充. 例题精讲 第 31 页 备选题库 例1. （2020春∙邕宁区校级期中）如果函数y=a-么实数a的取值范围为（ ） 的零点在x轴的正半轴上有且仅有一个，那 A．{a|a≤0} C．{a|a≥0} 【答案】B 【解析】 题干解析: 由y=a-=0得a=-， B．{a|a≤0或a=2} D．{a|a≥0或a=-2} 设h（x）=-， 则h′（x）=+==， 当h′（x）>0得-3（x2-1）>0，得x2-1<0，得-1 要使当x>0时，a=h（x）有且仅有一个正数解，则a=2或a≤0， 第 32 页 例2. （2020∙河南模拟）已知单调函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，f[f（x）-log2x]=3，则函数g（x）=f（x）+x-7的零点所在的区间为（ ） A．（1，2） 【答案】C 【解析】 题干解析: B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3， 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）-log2x为定值， 设t=f（x）-log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，∴f（t）log2t+t=3，所以t=2， 所以f（x）=log2x+2，所以g（x）=log2x+x-5， 因为g（1）<0，g（2）<0，g（3）<0，g（4）>0，g（5）>0， g（3）g（4）<0， 所以零点所在的区间为（3，4）。 例3. （2020∙河南模拟）已知函数f（x）=x3-3x+b与函数y= 有相同的对称中心，若g（x） =有最大值，则实数a的取值范围是（ ） A．（-∞，-1） B．（-∞，-1] 第 33 页 C．[-1，+∞） 【答案】C 【解析】 题干解析: 因为 的对称中心为（0，1），则由平移知识可得，b=1。 D．[1，+∞） 如图作出函数f（x）=x3-3x+1与直线y=1-x的图象， 它们的交点是A（-， ），C（0，1），B（ ，1 ） 由f′（x）=3x2-3，可以判断x=-1是函数f（x）的极大值点， 图象知当a≥-1时，g（x）有最大值是f（-1）或f（a）； 当a<-1时，由a3-3a<-2a，因此g（x）无最大值， ∴所求a的取值范围是[-，+∞）． 例4. （2020∙合肥三模）已知t>2，点A（t，lnt），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4）），则△ABC的面积的取值范围是（ ） A．（0，1） C．【答案】D 【解析】 题干解析: B．（0，ln2） D． 如图，点A（t，lnt），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4））都在曲线y=lnx上， 分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1， 第 34 页 易得A1B1=B1C1=2，AA1=lnt，BB1=ln（t+2），CC1=ln（t+4）。 设△ABC的面积为S，则 =[lnt+ln（t+2）]+[ln （t+2）+ln（t+4）]-2[lnt+ln（t+4）]=2ln（t+2）-lnt-ln（t+4）=． 又t>2，则所以 随t的增大而减小，，即△ABC面积的取值范围为 ， ． 例5. （2020春∙东湖区校级月考）若函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=2a⋅ex+1（a>0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（ ） A．【答案】A 【解析】 题干解析: B． C． D． f（x）=x2+1的导数为f′（x）=2x，g（x）=2aex+1的导数为g′（x）=2aex， 设公切线与f（x）=x2+1的图象切于点（x1，x12+1）， 与曲线C：g（x）=2aex+1切于点（x2，2a +1）， ∴2x1=2a==， 第 35 页 化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2， ∵x1=a ，且a>0，∴x1>0，则2x2=x1+2>2，即x2>1， 由x1=a，得a==， 设h（x）=（x>1），则h′（x）=， ∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减， ∴h（x）max=h（2）=， ∴实数a的取值范围为（0，]， 例6. （2020∙浙江模拟）已知函数 m∈Z，若函数g（x）存在5个零点，则m的值为（ ）A．5 B．3 C．2 【答案】C 【解析】 题干解析: 函数g（x）=|2f（x）-m|-1，且m∈Z， 第 36 页 g（x）=|2f（x）-m|-1，且 D．1 ，函数 令|2f（x）-m|-1=0， 解得f（x）= 或f（x）= ， ，y= 共5个交点， 由函数g（x）存在5个零点等价于y=f（x）的图象与直线y=由图可知： ，解得m=2， 当堂练习 单选题 练习1. （2020∙陆良县二模）已知关于x的方程e-|x|+kx-1=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．（-1，0）∪（0，1） C．（-2，0） 【答案】A 【解析】 题干解析: 由e-|x|+kx-1=0得e-|x|=1-kx， 做出y=e-|x|和y=1-kx的函数图象如图所示： B．（-1，0） D．（-2，0）∪（0，2） 第 37 页 设y=e-x在（0，1）处的切线斜率为k1，则k1=-e0=-1， ∴当-1<-k<0或0<-k<1时，直线y=1-kx与y=e-|x|有两个交点， 解得0 （2020∙上城区校级模拟）已知函数（x）=f（x）-m的零点个数为（ ） ，若实数m∈（0，1），则函数g A．0 【答案】D 【解析】 题干解析: B．1 C．2 D．3 画出函数f（x）=的图象，如图所示； 由函数g（x）=f（x）-m=0，得出m=f（x）； 又m∈（0，1），则y=m与y=f（x）由3个交点， 所以函数g（x）有3个零点。 第 38 页 练习3. （2020∙合肥三模）若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）=xlny-ay成立（其中lnx，lny是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（ ） A．【答案】C 【解析】 题干解析: B． C． D． x（1+lnx）=xlny-ay可化为a=令 ，则t>0，f（t）=-t-tlnt， ， ∵f′（t）=-2-lnt， ∴函数f（t）在区间上单调递增，在区间上单调递减。 即== 则a∈． 练习4. （2020春∙沙坪坝区校级月考）已知f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=ex-1+e1-x-3（e为自然对数的底），则函数f（x）在区间[0，4]上的所有零点之和为（ ） A．6 【答案】D 【解析】 题干解析: B．8 C．12 D．14 ∵当x∈（0，2）时，f（x）=ex-1+e1-x-3，则 当x∈（0，2）时，f'（x）=ex-1-e1-x，令f'（x）=0，则x=1， ∴当0 第 39 页 ∴根据f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，可得函数f（x）的图象如下图： 由图可得，函数f（x）在区间（0，2）∪（2，4）上共有4个零点，且这些零点关于x=2对称， 又f（x）是定义在R上的奇函数，周期为4，∴f（0）=f（2）=f（4）=0， 故函数f（x）在区间[0，4]上的所有零点的和为：2×4+2+4=14。 练习5. （2020春∙邕宁区校级期中）如果函数y=a-么实数a的取值范围为（ ） 的零点在x轴的正半轴上有且仅有一个，那 A．{a|a≤0} C．{a|a≥0} 【答案】B 【解析】 题干解析: 由y=a-=0得a=-， B．{a|a≤0或a=2} D．{a|a≥0或a=-2} 设h（x）=-， 则h′（x）=+==， 当h′（x）>0得-3（x2-1）>0，得x2-1<0，得-1 第 40 页 当x→+∞，f（x）→0，当x→-∞，f（x）→0， 作出函数h（x）的图象如图： 要使当x>0时，a=h（x）有且仅有一个正数解，则a=2或a≤0， 填空题 练习1. （2020∙四川模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=log2x-1，则满足不等式（x-l）f（x）<0的实数x的取值范围是______________． 【答案】 （-2，0）∪（1，2） 【解析】 题干解析:∵f（x）是奇函数，∴当x<0，则-x>0，则f（-x）=log2（-x）-1=-f（x），即f（x）=1-log2（-x），x<0，当x>0时，由f（x）=log2x-1=0，得 log2x=1，得x=2，作出函数f（x）的图象如图：则不等式（x-l）f（x）<0等价为 或 ，即 或 ，得1 2 （2020∙日照二模）已知奇函数f（x）为R上的减函数，若f（3a2）+f（2a-1）≥0，则实数a的取值范围是_______． _ 【答案】 [-1，] 【解析】 题干解析:∵奇函数f（x）为R上的减函数，∴不等式f（3a2）+f（2a-1）≥0，等价为f（3a2）≥-f（2a-1）=f（1-2a），即3a2≤1-2a，即3a2+2a-1≤0得（a+1）（3a-1）≤0，得-1≤a≤，即实数a的取值范围是[-1，]， 练习3. （2020∙泸州模拟）已知函数f（x）=x-sinx，若f（a-2）+f（a2）≥0，则实数a的取值范围是________________。 【答案】 （-∞，-2]∪[1，+∞） 【解析】 题干解析:函数f（x）=x-sinx的导数为f′（x）=1-cosx，且f′（x）≥0，可得f（x）在R上递增，且f（-x）=-x-sin（-x）=-（x-sinx）=-f（x），可得f（x）为奇函数，由f（a-2）+f（a2）≥0，即为f（a2）≥-f（a-2）=f（2-a），可得a2≥2-a，解得a≥1或a≤-2， 解答题 第 42 页 练习1. （2020秋∙高邮市期中）已知函数（1）求a的值； （2）判断并证明函数f（x）的单调性，并利用结论解不等式f（x2-2x）+f（3x-2）<0； 是定义在R上的奇函数． （3）是否存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是实数k的取值范围；若不存在，请说明理由． ，若存在，求出 【答案】 见解析 【解析】 题干解析:（1）根据题意，函数= 是定义在R上的奇函数，则f（0） ，有f（-x）= =- =0，解可得a=1，当a=1时，f（x）= =-f（x），是奇函数，符合题意；故a=1；（2）函数f（x）在R上为增函数，证明如下：f（x）= =1-，设x1 在[m，n]上为增函数，则有，则m、n为方程=的两根， 第 43 页 令t=4x，有t>0，则即t2-（k+1）t-k=0有2个不等的正根，则有 ，解可得-3+2 练习2. （2020∙上海模拟）已知函数 （1）判断并证明函数f（x）的奇偶性； （2）若f（t2-t-1）+f（t-2）<0，求实数t的取值范围． 【答案】 见解析 【解析】 题干解析:（1）1）， 关于原点对称；……（2分）任意取x∈（-1， ，故函数f（x）是奇函数．……（6分） （2）因为x∈（-1，1）时，单调递增故a>1时，f（x）单调递增；0 （2020∙玉溪模拟）已知（1）函数的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）求证f（x）>0． ．求： ；…… 【答案】 见解析 【解析】 第 44 页 题干解析:（1）根据题意，，则有2x-1≠0，解可得x≠0，则函数的定义域为{x|x≠0}，（2）设任意x≠0，∵ = ．∴f（x）为偶函数； （3）根据题意，f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），当x>0时，2x-1>0，则 >0，又由f（x）为偶函数，则当x<0时，f（x）>0，综合可得： f（x）>0． 练习4. （2020秋∙长治县校级月考）已知函数（1）求实数m的值； （2）判断函数f（x）在（-∞，0]上的单调性并予以证明． 是R上的偶函数． 【答案】 见解析 【解析】 题干解析:（1）根据题意，函数（x），即 = 是R上的偶函数，则有f（-x）=f ，变形可得：mx=0，解可得m=0，（2）由（1）可得：，在区间（-∞，0]上增函数，证明：设x1 （x2）=-=，又由x1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- huatuo6.com 版权所有 湘ICP备2023023988号-11
违法及侵权请联系：TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务