江西财经大学线性代数试题061107513020

03-04学年第一学期期末考试试卷

试卷代码：03043A卷 课时：48课时 课程名称：线性代数 适用对象：选课班

一、填空题（3×5＝15

分）

b1⎤0⎥⎥，则A＝______。 0⎥⎥a4⎦

⎡a1⎢0⎢1、 设A=⎢0⎢⎣b4

0a2b30

0b2a30

2、 已知A，B均为n阶方阵， A与B相似，且线性方程组AX＝β仅有一个解，则 R(B)＝______。

C同为n阶方阵，且ABC=In ，那么B是可逆阵，B−1＝______。 3、 设A，B，

4、 设A为实对称阵，且AX1＝0，AX2＝3X2，其中X1，X2为非零列向量，

则X1与X2的内积（X1， X2）＝______。

5、 设可逆方阵A有特征值λ，则方阵（A+A ）必有特征值______ 。

*

−1

二、单项选择题（3×5＝15分）

1、设A* 为n阶可逆方阵A的伴随矩阵，则必有A*＝______。 (A) A (B)

1

(C) AA

n

(D) A

n−1

2、对于矩阵A，B，C，D，I，下述论断不正确的是______。 (A) 若AB=I（A，B为同阶方阵），则B＝A−1 (B) 若A≠0，则A*≠0 (C) 若A＋B＝A＋C，则B＝C (D)（A

−1

B

−1

）T=(B

T

AT)−1(A，B可逆)

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3、若向量组α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α4线性相关，则______。 (A) α1必可由α2，α3，α4线性表示 (B) α2必不可由α1，α3，α4线性表示 (C) α4必可由α1，α2，α3线性表示 (D) α4必不可由α1，α2，α3线性表示

4、要使α1＝（1，0，2）T，α2＝（0，1，－1）T都是线性方程组AX ＝0的

解，只要系数矩阵A为______。

⎡20−1⎤

(A) （－2，1，1） (B) ⎢ ⎥

⎣011⎦

1⎤⎡01

⎡−102⎤⎥ (C) ⎢ (D) ⎢4−2−2⎥⎢⎥⎣01−1⎦⎢1⎥⎣01⎦

5、n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的______。 (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件

(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件

三、计算题（60分）

⎡121⎤

⎥，B1、（10分）已知A−1＝⎢013⎢⎥

⎢⎣124⎥⎦

⎡210⎤

⎥ −1

＝⎢−121⎢⎥⎢⎣−231⎥⎦

求A，（ATB)−1，（（AB）T）−1，AB

2、（12分）向量组α1＝（3，λ，1），α2＝（λ，3，0），α3＝（λ－3，λ－1，－1），问λ为何值时，α1，α2，α3线性相关？λ为何值时，α1，α2，α3线性无关？

⎧−2x1+x2+x3=−2

⎪

（12分）讨论线性方程组⎨x1−2x2+x3=k，当k取何值时有解，无解？有3、

⎪x+x−2x=k2

23⎩1

解？有解时，求其解。

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⎡0x1⎤

⎥ 有三个线性无关的特征向量，4、（12分）设A＝⎢求x和y满足的条件。 020⎢⎥

⎢⎣4y0⎥⎦⎡211⎤

⎥，5、（14分）已知A＝⎢使得T121⎢⎥求正交矩阵T和对角矩阵Λ，

⎢⎣112⎥⎦

−1

AT＝Λ

四、证明题（2×5=10分）

⎛1⎞⎛x1⎞

⎜⎟⎜⎟

1、已知A＝⎜1⎟（1，1，1）＋⎜x2⎟（ y1，y2，y3），其中x1，x2，x3，y1，

⎜1⎟⎜x⎟⎝⎠⎝3⎠y2，y3 为任意实数，证明：A≡0

2、设向量组α1，α2，K，αs线性无关，试证：向量组α1，α1＋α2，K， α1

＋α2＋K＋αs也线性无关。

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