江西财经大学线性代数试题061107328190

04-05学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：034B卷 课时：

课程名称：线性代数（工） 适用对象：04信管、电子、计算机班

一、 填空题（每题3分，共15分）

⎛0

⎜

１、设A=⎜0

⎜⎜1⎝70140

1⎞3⎟

0⎟，则A−1＝ . ⎟0⎟⎠

２、已知三阶方阵A的三个特征值为1，-2，3，则︱A︱= ，A-1的特征值为 .

⎛2⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟

３、若向量组α1=⎜1⎟，α2=⎜3⎟，α3=⎜0⎟能构成R3的一个基，则k的取

⎜−2⎟⎜1⎟⎜k−2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠

值为 .

４、设α1,α2,α3,β1,β2

都是四维向量，已知行列式

α1,α2,α3,β1=a,β2,α1,α2,α3=b，则α1,α2,α3,(β1+β2)＝ .

５、若α=(0,y,−1＝ .

2

)和β=(x,0,0)是标准正交向量组，则x＝ ，y

二、 单项选择题（每题3分，共15分）

１、设A为三阶方阵，且A=2，则4A−1+A∗＝（ ）.

(A)4.5； (B)12； (C)6； (D)108. ２、对矩阵A施行一次初等行变换得到矩阵B，则（ ）.

(A)B是初等矩阵； (B)A与B相似； (C)A与B的秩相等； (D)A与B的行列式相等. ３、n元线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是（ ）.

(A)R(A)=n； (B)R(A)=n； (C)A为方阵，且A≠0； (D)R(A)=n，且b可由A的列向量线性表出.

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４、n阶方阵A有n个两两相异的特征值是A与对角矩阵相似的（ ）.

(A)充分非必要条件； (B)必要非充分条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件.

５、若向量组α1,α2,α3线性无关，而α1,α2,α4线性相关，则（ ）.

(A) α1必可由α1,α2,α4线性表出； (B)α2必不可由α1,α3,α4线性表出 (C)α4必可由α1,α2,α3线性表出； (D)α4必不可由α1,α2,α3线性表出.

三、 计算题（每题10分，共40分）

⎛−1−4⎞⎛−10⎞11

⎟⎜⎟Λ=１、设P−1AP=Λ，其中P=⎜ ，，求A. ⎜1⎟⎜⎟1⎠⎝⎝02⎠

⎧x1−2x2+3x3−x4=1

⎪

２、求解非齐次线性方程组⎨3x1−x2+5x3−3x4=2 .

⎪2x+x+2x−2x=3

234⎩1

⎛1⎞⎛4⎞⎛1⎞

⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜2⎟⎜−1⎟⎜−3⎟

３、求向量组α1=⎜⎟，α2=⎜⎟，α3=⎜⎟的秩，并求一个极大无关组.

−5−41

⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜3⎟⎜−6⎟⎜−7⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠４、设三阶方阵A的特征值为λ1=2，λ2=−2，λ3=1；对应的特征向量依次为

⎛0⎞⎛1⎞⎛1⎞

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

α1=⎜1⎟，α2=⎜1⎟，α3=⎜1⎟，求A.

⎜1⎟⎜1⎟⎜0⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠

四、 证明题（每题10分，共30分）

１、设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A•也可逆，且(A∗)−1=(A−1)∗. ２、设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

３、设A，B为n×n矩阵，证明:如果AB=0，那么秩（A）＋秩（B）≤n

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