２０１３年第２期 数学教育研究 · ５７ · 与直线相关的最值问题归类解析 刘少平 许书军 （湖北省仙桃第八中学４３３０００） 与直线相关的最值问题融合了代数、三角函数、平 面几何等知识和数形结合的思想方法，是考查学生综 合能力的好素材，在各级中时常出现，相当一 部分同学失分现象严重，现将此类问题归类解析，以期 对同学们有所帮助． １距离之和型的最值 ， 例１ 已知两点Ａ（２，３）， ／ Ｂ（４，１），在直线Ｌ： ＋２ｙ一２ ＼ ／， ／Ｂ ｊ ＝０上求一点Ｐ，使ｌ ＰＡ ｌ＋ ＤＪ Ｊ尸Ｂ Ｊ最小． 己 解：可判断Ａ、Ｂ在直线Ｌ 的同侧，如图１，设Ａ点关于Ｌ 的对称点Ａ 的坐标为（ｚ ， 。） 图１ 脯 繁 。 ＩＸｌ一一 解得｛ ｌ 一～了 由两点式求得直线Ａ Ｂ的方程为 古（ｚ一４）＋ １，直线Ａ Ｂ与Ｌ的交点可求得为Ｐ（罢，一蠢），在Ｌ （罢，一丢）为所求点． 点评：若两定点Ａ、Ｂ在直 线Ｌ的异侧，由两点之间线段最 ／Ｌ 短及三角形中任意两边之和都 曰 大于第三边可知，点Ｐ为ＡＢ连 ／０ 】 线与Ｌ的交点；点Ｐ到两定点距 离之和的最小值为１ ＡＢ ｌ的长 图２ 度，如图２，Ｉ Ｐ Ａ １＋ｌ Ｐ Ｂ Ｉ≥ ｌＡＢ１一ＩＰＡｌ＋ｌＰＢｌ，当且仅当Ａ、Ｂ、Ｐ三点共线时等 号成立． ２距离之差型的最值 ］ 例２ 已知点Ａ（４，１），Ｂ ￣／ｐＬ （Ｏ，４）和直线Ｌ：３ｘ—ｙ一１—０， 试在Ｌ上找一点Ｐ，使Ｉ ＰＡ １一 ＩＰＢＩ最大，试求Ｐ点的坐标． 解：如图３，设Ｂ关于Ｌ的 ０ ／ 对称点Ｂ （ ， ），则有： ｜ 图３ １３ ｘ ＇ｙ＇ ＋４一。 脯 ｌ 一一了 解得｛ ： 由两点式可得直线ＡＢ 的 方程为２ｚ＋ 一９—０，设ＡＢ 与 Ｌ交于Ｐ点，易求得Ｐ的坐标 为（２，５），在Ｌ上任取一点Ｐ ， 由平几知识得ｌ Ｐ Ａ Ｉ～ｌ Ｐ Ｂ Ｉ— ＩＰ＇Ａ ｌ—ｌＰ Ｂ ｌ≤１ＡＢ Ｉ—Ｉ ＰＡｌ 务 ＩＰＢｌ，故点Ｐ（２，５）为所求点． 点评：若两定点Ａ、Ｂ在直 图４ 线Ｌ的同侧时（ＡＢ连线与Ｌ不平行），连结Ａ、Ｂ两点 所在直线，交直线Ｌ于点Ｐ，如图４，在Ｌ上任取一点 Ｐ ，则有ｌＩＰ Ｂ ｆ—ｆ Ｐ Ａ ｆ ｆ≤ｌ ＡＢｆ—ｆ ＰＢｆ—ｆ ＰＡ ｌ，当 Ｐ 与Ｐ两点重合时，等号成立，最大值为１ＡＢ１． ３距离乘积型的最值问题 例３过点Ｐ（２，１）作直线Ｌ分别交ｚ轴、Ｙ轴的 正半轴于Ａ、Ｂ两点 （１）若ｌＰＡ１．１ＰＢ１取最小值时，求直线Ｌ的方程 （２）若ｌＯＡ１．１ＯＢ１取最小值时，求直线Ｌ的方程 分析：由已知条件，设出直线方程的适当形式，用 基本不等式求最值，并寻找最值成立的条件是解题的 关键． 解：（１）设直线Ｌ的方程为ｙ一１一是（ｚ一２）（ ＜ ｏ）令ｙ＝０得点Ａ（２－－Ｔ１，ｏ），令ｚ＝０得点Ｂ（０，１— ２ｋ） ｌ ＰＡ ｌ·ｌ ＰＢ １＝√（古＋１）（４４－４ｋ２）一 √８＋４ ｋ。＋古）≥４，当且仅当ｋ＝－－１时取等号， 所以直线Ｌ的方程为 ～１一一（ｚ一２），即－ｚ＋ 一 ３—０ （２）设直线Ｌ的方程为一Ｔｄ．４－４－一１（口＞ｏ，６＞ｏ） ‘ＰＥＬ ．三４－＿１—１＇．．ａｂ＝２ｂ４－ａ≥２、， 当且仅当Ⅱ一２６即ｎ一４，６—２时取等号．’．ｎ６≥８ 由题设ｌＯＡｌ·ｌＯＢｌ—ａｂ，．‘．直线Ｌ的方程为÷ ＋ ＝１，即Ｘ４－２ｙ－－４＝０ 点评：（１）中条件能体现一种明确的函数关系，先 建立一个关于ｋ的函数，再求函数的最值． （２）中ｌＯＡｌ、ＩＯＢｌ恰好是直线在坐标轴上的截距， ５８ · 数学教育研究 ２０１３年第２期 故用截距式求解． ４截距之和型的最值 例４过点Ｐ（１，４）作直线与两坐标轴正半轴相 交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线 的方程。 分析：写出直线在两轴上的截距之和的表达式，利 用不等式或函数性质求最值． 僻：设直线方程为三＋孚一１（ｎ＞ｏ，６＞ｏ） · 直线过点Ｐ（１，４）， ．一１十４＿了－—１ ．ｎ＋６一（ｎ＋６）（丢＋ ）一５＋ ＋ ≥５＋２ √ · ｂ＝９ ￣壹 ４ａ一 ｂ且 １十 ４—１（ｎ＞Ｏ６＞Ｏ），即ｎ一３，６— ６时，ａ＋ｂ达到最小值９ 点评：本题若不用“１，，代换，也可由一１十Ｔ４—１得 ｎ一南‘６＞４） ．．．ｎ＋６—６＋ 一（６—４）＋ ＋５≥９（即ｎ一 ３，６—６等号成立）来求解直线方程，当然也可引入斜率 作参数，建立目标函数求最值． Ｓ周长型的最值 例５ 已知点Ｍ（３，５），在 直线Ｌ：ｚ一２ ３＇＋２—０和 轴上 各找一点Ｐ和Ｑ，使△ＭＰＱ周 长最小 分析：如图５，作点Ｍ关 图５ 于直线Ｌ的对称点Ｍ ，再作点 Ｍ关于 轴的对称点Ｍ ，连结Ｍ１ Ｍｚ，与Ｌ及 轴交 于Ｐ、Ｑ两点，由轴对称及平面几何的知识，可知这样得 到△ＭＰＱ的周长最小． 解：由点Ｍ（３，５）及直线Ｌ，可求得点Ｍ关于Ｌ的 对称点Ｍ （５，１），同样易求得点Ｍ关于 轴的对称点 Ｍｚ（一３，５），据Ｍ 、Ｍ２两点可得直线Ｍｔ Ｍ 的方程为 ｚ＋２ｙ一７：０，令ｚ一０，得Ｍｌ Ｍ２与Ｙ轴交点Ｑ （。，号），解方程组｛ ｘ＋－２ ｙ一＋ ２ － 得交点Ｐ（＿耋－，号） 故点Ｐ（昔，÷）、Ｑ（０，÷）即为所求． 点评：平面内，两点连线中以线段最短，这一基本 定理是解决此类问题的理论基础，应用此定理的重点 是将封闭问题转化为开放的线段问题． ６面积型最值问题 例６已知定点Ｐ（６，４）与定直线ｌ ：ｙ一４ｘ，过Ｐ 点的直线Ｌ与ｚ 交于第一象限的Ｑ点，与ｚ轴的正半 轴交于点Ｍ，求使ＡＯＱＭ面积最小的直线Ｌ的方程． 解：设点Ｍ的坐标是（￡，Ｏ），则直线Ｌ的方程为４ｚ （６一￡） 一４ｔ＝０， 解方程组｛ ６一ｔ）ｖ一４ 一。得点Ｑ的坐标为 ．．． ， ＞ ． ， ￣ｌｌｔＡＯＱＭ的面积ｓ一÷ｔ· ＝ 一２· ２（ ）＋ ＋２０ ’￡一５＞０，．·．Ｓ＝２（￡一５）＋ ＋２Ｏ≥２ ２（ｔ－－５）· ＋２０＝４０ 当且仅当２（ｔ一５）一 时等号成立，此时￡一１０ 且ｓ≥４Ｏ，所以当ｔ—ｌＯ，ＡＯＱＭ的面积的最小值为 ４０，此进直线方程为ｚ＋ 一１０：０ 点评：先设出点Ｍ的坐标是关键，如果设斜率要 考虑斜率不存在的情形，再由交点坐标的范围确定ｔ的 范围，列出面积后用配方法求最值． ７斜率型的最值问题 例７ 已知数Ｘ、ｊ，满足２ｘ＋ｙ＝８，当２≤工≤３时， 求 的最大值－￣ｌｄ，值． 解：如图６，由已知得点 Ｐ（ｘ，ｙ）在线段ＡＢ上运动，其 中Ａ、Ｂ两点坐标为Ａ（２，４），Ｂ （３，２），由上的几何意义是直线 Ｂ ＯＰ的斜率， Ｋ０Ａ＝２，Ｋ∞一 要，ｉｇｌ ｙ的最小值为 ，最大 Ｄ 】 值为２． 图６ 点评：通过探究式上的几 何意义，将问题转化为直线斜率的变化范围，利用数形 结合法求斜率范围，从而求得Ｙ的最大值和最小值． ８平行线间距离的最值问题 例８两条互相平行的直线分别过点Ａ（６，２）和Ｂ （一３，一１）并且各自绕着Ａ、Ｂ旋转，如果两平行线间的 距离为ｄ，求（１）ｄ的变化范围；（２）当ｄ取最大值时两 直线的方程． 分析：由两平行线间距离公式写出ｄ与 之间的 函数关系式，不难求出ｄ的范围． 解：（１）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线 分别为ｚ＝６和ｚ一一３，则它们之间的距离为９． ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方 程为： ｌｌ：ｊ，一２＝ｋ（ｚ一６），Ｚ２： ＋１一ｋ（ｘ＋３） 即 ｌ： ｚ—ｙ一６ ＋２＝０，ｌ２：志ｚ—ｙ＋３ｋ一１—０ 二 一 即（８１一ｄｚ） ｚ一 ￣／ ＋１ ￣／ ０＋１ ２０１３年第２期 数学教育研究 · ５９ · ５４ｋ＋９一ｄ０＝０， ∈Ｒ且ｄ≠９，ｄ＞０ Ａ一５４。一４（８１～ｄ ）（９一ｄ。）≥０，即０＜ｄ≤３ ４１ｏ，且ｄ≠９ 综合①②可知ｄ的变化范围为（ｏ，３Ｖ￣－Ｇ３ （２）由（１）知ｄ最大值为３ ４７６，此时ｋ一 ２（８１一ｄ ） 故两直线方程分别为３ｚ＋Ｙ一２０—０和３ｚ＋ ＋ １０—０ 点评：（１）本题直接设出两平行直线的方程，利用 距离公式列出ｄ与ｋ之间的关系式，但在求ｄ的范围 时把该关系式看做关于ｋ的方程，根据ｋ∈Ｒ，方程都有 解，利用△≥０，求出ｄ的范围，从运算量到解题方法， 难度都比较大．（２）本题若从几何背景考虑，易知分别 过Ａ，Ｂ的一切平行线的距离不超过Ａ，Ｂ两点问的距 离ｌＡＢ１，当且仅当两平行直线与直线ＡＢ垂直时，两平 行线间距离等于ｌＡＢｌ，故ｄ…一Ｊ（６＋３） ＋（２＋１） ３ 而，此时，ｋ× ＝一１即 一－－３，可见，借助几 何背景发挥形象思维优势，常可得到简捷解法． ９距离的平方和最值问题 例９已知三点Ｐ（１，２），Ｑ（２，１），Ｒ（３，２），过原点 作一条直线，使得Ｐ、Ｑ、Ｒ到此直线的距离的平方和最 小，求此直线方程． 解：当直线的斜率ｋ存在时，设此直线的方程为Ｙ ＝ｋｘ。 则 一 等＋ ＋ １４ｋ。一２Ｏ是＋９ — Ｆ广～ 即（ｄ一１４）ｋ ＋２０ｋ＋ｄ一９—０ 由１ｆ△＝４００—４（ｄ一１４）（ｄ一９）≥０ ｄ一１４≠ｏ ．．． 二要 ≤ｄ≤垫±要 且ｄ≠１４，故当女 ｛ 时，ｄｍｉ．－２下３－５ 当ｋ不存在时，Ｌ为Ｙ轴，此时三点到Ｌ的距离的 平方和为１４，且１４＞垄二 所以所求直线为 一 １＋￣／１７ 点评：已知直线过原点可设直线的点斜式方程，设 直线的点斜式方程一定要注意讨论直线的斜率是否存 在，根据直线方程，利用点到直线的距离公式建立函数 模型，然后通过函数的最值问题来求解，注意函数求最 值的方法． １Ｏ视角最值问题 例１Ｏ某人在一山坡Ｐ处观看对面山顶上的一座 铁塔，如图７所示，塔高ＢＣ：８０ ｍ，塔所在山高ＯＢ一 ２２０ ＩＴＩ，ＯＡ＝２００ ｍ，图中所示的山坡可视为直线Ｌ，点 Ｐ在直线Ｌ上，Ｌ与水平地面的 夹角为ａ，ｔａｎａ一÷，试问，此人 距水平地面多高时，观看塔的视 Ｃ 角／ＢＰＣ最大（不计此人身高）？ 分析：建立平面直角坐标 系，利用直线倾斜角列关系式， 再用基本不等式求解． 解：如图８所示，建立直角 图７ 坐标系，则Ａ（２００，０），Ｂ（０， ２２０），Ｃ（ｏ，３００） ， 直线Ｌ的方程为： 一ｔａｎａ（ｘ Ｃ ２００），即 ＝ ，设点Ｐ的 曰 坐标为（ｚ， ），则Ｐ点坐标为 Ｄ ａ Ｄ 】 （ ， ）（ｚ￣２００） 由经过两点的直线的斜率公 图８ ｘ２００３００ 式得ｋｐｃ＝— ——一 ｚ一８００ －２２ｏ ｘ－－ ６４０ＰＢ一— ——一 过Ｐ作ＰＤ Ｊ＿ 轴于 Ｄ，则ｔａｎ ＢＰＣ＝ｔａｎ（ ＤＰＣ一／ＤＰＢ） ！ 旦 二！ 墨 ： ｋＰＢ—ｋｐｃ １＋ｔａｎ ＤＰＣ·ｔａｎ ＤＰＢ １＋ ＰＢ· 尸ｃ Ｉｚ ０一 ２２８ｘ １６０ ６４０ ６４ｘ ＋ × ．１６Ｏ×６４Ｏ匦 ６４…（ｚ＞２００）…… Ｚ１－一一 ＯＯ 要使ｔａｎ ＢＰＣ达到最小，只需ｚ＋—１６０Ｘ—６４０— ２８８达到最大，由均值不等式有 ＋ 一２８８≥ ２、／，丽 而一２８８，当且仅当 ： 时上式取 等号，故当ｚ一３２０时，ｔａｎ ＢＰＣ最大，这时点Ｐ的坐 标为 一—３２—０－－ ２００—６Ｏ由实际问题知Ｏ％￣ＢＰＣ％ 号，所以ｔａｎ ＢＰｃ最大时， ＢＰｃ最大，故当此人距 水平地面６ｏ米高时观看铁塔视角 ＢＰＣ最大． 点评：角的最大转化为求正切的三角函数值最大， 后用基本不等式求解． １ｌ两点间距离最值 例１ｌ 在平面直角坐标系 中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２， Ｄ —————１ｃ 宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｚ轴、 Ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原 Ｄ ） Ｂ 点重合，如图９所示将矩形折 叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上． 图９ （１）若折痕所在直线的斜率 为 ，试求折痕所在直线的方程；（２）求折痕长的最 ６Ｏ· 数学教育研究 ２０１３年第２期 大值． 分析：本题考查直线方程、点的轴对称、两点间距 离，如何求极值，要注意折痕是矩形内的折痕． ②当一１≤ ＜一２＋√３时， 如图ｌｌ，ｙ＝ｌ ｅＮ Ｉ ｚ一＼ｋ＋，１） Ｄ Ｇ Ｃ 解：（１）①当ｋ＝０时，此时Ａ点与Ｄ点重合，折 ＋（一 ）。一 Ⅳ 痕所在直线方程为 一÷ ②当志≠Ｏ时，将矩形折叠后Ａ点落在ＤＣ上的点 记为Ｇ（ａ，１），所以Ａ与Ｇ关于折痕所在直线对称，有 Ｄ ） （ ＋１） ·（２ｋ０一１） Ｐ、Ｂ 】 图１１ 令 ，：ｏ，解得ｋ＝－－ ，此时 的极大值为 ③当一２≤ ＜一１时，如图 １２， 直 线 交ＤＣ 于 Ｄ Ｋｍ·志＝一１ ÷·最一一１ 口一一是，故Ｇ点坐标为Ｇ （－－ｋ，１），从而折痕所在直线与ＯＧ的交点坐标（线段 ＯＧ的中点）为Ｍ（一 ｋ， １），折痕所在直线方程为 １Ｇ 一志（ｚ＋寺）即 一是ｚ＋ ｋｚ十 １，由①②得折痕 Ｎ （去一寺， ） （２）当ｋ一０时，折痕的长为２ 当志≠０时，折痕所在直线与坐标轴的交点坐标为 ｒ Ｄ ） Ｐ、Ｂ 所在直线方程为 —ｋｘ＋ ＋÷ Ｎ（ｏ， ），Ｐ（－ ，ｏ）， 。 Ｏ≤ｎ≤２， ．一２≤ ＜Ｏ，当Ａ与Ｃ重合时， 一 ２解 ≤１得一１≤女＜ｏ 解：一 ｋ２＋ ｌ≤２得≤一２＋ ２≤女 ， Ｄ Ｇ Ｃ ～、 ①当一２＋ ≤ｋ＜Ｏ时， 如图１０，直线交ＢＣ于 ＾７ Ｐ ２，２ｋ－｝－ ） Ｄ ） Ｂ 】 ｉ Ｐ Ｎ Ｉ。一２。＋ ［ ｚ 十，ｋＴ２＋１）］ 一 图１Ｏ ＋４ｋ ≤４＋４（７—４√ ）一３２—１６ Ｉ上璜弟５６贝Ｊ 证 明：０ 为Ｍ，ＭＦ＿ｌ＿ＭＰ即ＭＰ为切线． 引申：当点Ｐ（ 。，Ｙ。）满足Ｙ５＞２ｐｘ。以ＰＦ为直径 （Ｉ 生２，’ ２］Ｊ ’０１到 Ｘｏ＋－￣Ｔ； ‘ 的圆ｏ 与Ｙ轴相交于Ｍ、Ｎ显然有ＭＦ上ＭＰ，ＮＦ＿ｌ＿ ＰＮ所以，ＰＭ、ＰＮ即为过．Ｐ（ｚｏ，ｙ。）的切线． 因此平面上任意一点不论在曲线上还是曲线外都 可以用尺规作切线；在本堂课中有效地激发了求知欲， 培养了探究能力；享受了数学的统一美． ＩＰＦＩ—ｚ。＋号 ｒ． 所以０１Ｍ：—［Ｐ ＦＩ—图１５ ［责任编校王蓓］ 所以以ｌＰＦＩ为直径作圆０１与Ｙ轴相切于一点设
