(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(答案解析)

一、选择题

21．1,y10,y24,y3是抛物线yx2xc上三点的坐标，则y1，y2，y3之间

C．y3y1y2

D．y3y2y1

的大小关系为（ ） A．y1y2y3

B．y2y1y3

2．二次函数y(x2)(x3)与x轴交点的个数为（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示： x y … … 0 ﹣3 1 0 2 ﹣1 3 0 4 3 … … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ） A．x0

y3B．x2

y1C．x3

y0D．x4 y34．如图等边ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s的速度向点C运动，点P沿ABC以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停

2止运动，若APQ的面积为Scm，点Q的运动时间为ts，则下列最能反映S与t之

间大致图象是（ ）．

A． B．

C． D．

5．如图为二次函数yax2bxc的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：abc0；方程ax2bxc0的根为x11，x23；当x1时，

y随着x的增大而增大；4a2bc0.正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．4 D．3

6．如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1,0)，顶点坐标为(1,n)与y轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）．有下列结论：①4acb2；②3ab0；③4a2bc0；④当y0时，x的取值范围为1x3；⑤当x0时，y随着x

的增大而减小；⑥若抛物线经过点2,y1、,y2、3,y3，则y3y1y2．其中正确的有（ ）

32

A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑥ D．②③⑥

7．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）

A．26 B．23 C．6

D．42 8．已知二次函数yax2bx2(a0)的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)，当

ab为整数时，ab的值为( )

A．

3或1 4B．

1或1 4C．

31或 42D．

11或 429．在平面直角坐标系中抛物线yx2的图象如图所示，已知点A坐标为(1，1)，过点A作

AA1//x轴交抛物线于点A，过点A1作A1A2//OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3//x轴交

抛物线于点A3过点A3作A3A4//OA交抛物线于点A4，……则点A2020的坐标为（ ）

A．(1011， 10112) C．(-1010， 10112)

B．(-1011， 10112) D．(1010， 10112)

10．已知函数y3x25经过A（m，y1）、B（m−1，y2），若y1y2．则m的取值范围是（ ） A．m0

B．m1 22C．0m1 2D．1m2

11．对于二次函数y5x32的图象，下列说法中不正确的是（ ） A．顶点是3,2 C．与x轴有两个交点

B．开口向上 D．对称轴是x3

12．把函数y(x1)22图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A．yx22

B．y(x1)21

C．y(x2)22 D．y(x1)23

二、填空题

13．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线x＝4；

丙：与y轴的交点到原点的距离为3．

满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．

14．已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数yx2m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_______．

15．抛物线ya(x3)2m与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程

2a(x3)2m0的根为__________．

16．若抛物线y2x2xc与坐标轴有两个交点，则c应满足的条件是_______． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（5，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y＝－x2－13x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为________．

18．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+3的图象上，则y1_____y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．

19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数yx图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点E是抛物线yx4x8图像上的一点，则△ABE的面积最小值是______．

2

20．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y轴交于点(0,3)，这个二次函数的解析式可以是_______________________．

三、解答题

21．某超市进了一款新型玩具，预计平均每天售出20个，每个玩具盈利25元．为了增加盈利，超市老板决定采取降价措施．销售价格每降低1元，超市平均每天多售出2个玩具．

（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具售价应降低多少元？ （2）若使超市卖玩具平均每天的盈利最多，每个玩具售价应降低多少元？

22．如图，Rt△OAB中,∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△AA1B1． (1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；

(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、 C的坐标．

23．已知：二次函数yx2bxc过点（0，－3），（1，－4） （1）求出二次函数的表达式；

（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；

（3）根据图像回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ．

24．已知关于x的方程(a21)x22(ab)xb210． （1）若b2，且x2是此方程的根，求a的值；

2（2）若此方程有实数根，当5a1时，求函数ya4a2ab的取值范围．

25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数yx2pxq的图象过点(1,0)，

(2,0)．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）当2x1时，y的最大值与最小值的差是_______________；

2（3）一次函数y2mx2m的图象与二次函数yxpxq的图象交点的横坐

标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

26．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．

（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示） （2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？

（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

先判断函数的开口向下，对称轴为x=1，从而得出距离对称轴越远，函数值越小，再结合三点坐标即可判断y1，y2，y3之间的大小关系． 【详解】 解：∵在yx22xc中，a1,b21， 2a2∴该函数开口向下，对称轴为x=1，且距离对称轴越远，函数值越小， ∵1,y1、0,y2、4,y3三点距离对称轴的距离为：2,1,3， ∴y3y1y2， 故选：C． 【点睛】

本题考查比较二次函数值的大小．理解二次函数当a<0时距离对称轴越远的点，函数值越小是解题关键．

2．B

解析：B 【分析】

根据△=b24ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴的交点问题； 【详解】

∵ yx2x3x5x6，

2∴ △=b24ac=25-24=1＞0

∴二次函数yx2x3与x轴有两个交点； 故选：B． 【点睛】

本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握判别式△=b24ac是解题的关键；

3．A

解析：A 【分析】

根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】

∵x＝1和x＝3时，y＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，

∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0， ∴x＝0，y＝﹣3错误． 故选：A． 【点睛】

此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．

4．D

解析：D 【分析】

当点P在AB边运动时，S=时，如下图，S=【详解】

解：当点P在AB边运动时，

1AQ×APsinA，图象为开口向上的抛物线，当点P在BC边运动21×AQ×PCsinC，即可求解． 2S11332AQAPsinA2ttt， 2222图象为开口向上的抛物线， 当点P在BC边运动时，如下图，

1133SAQPCsinC2t(6t)t(6t)，

2222图象为开口向下的抛物线，

故选：D． 【点睛】

本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

5．C

解析：C 【分析】

①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号，根据对称轴确定b的符号； ②根据二次函数图象与x轴的交点解答； ③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断； ④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y的符号． 【详解】

解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上， ∴a＞0，-即b＜0， ∴abc＞0，正确；

②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点是（-1，0）、（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3 故本选项正确；

③函数对称轴是直线x=1，

根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大；

④根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0）， ∴当x=2时，y＜0

∴当x=1时4a+2b+c＜0，正确． 共有四个正确的， 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．

b＞0，c＜0， 2a6．B

解析：B 【分析】

根据二次函数图像可知x1为抛物线的对称轴，可以求出与x轴正半轴交点坐标，可解④⑤，开口朝下，与y轴交于正半轴，可知：a＜0，2c3，根据对称轴公式可得：

b＞0，可解①②③，根据图像可解⑥． 【详解】

∵抛物线开口朝下，

∴a＜0，

∵与y轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）， ∴2c3， ∴4ac＜0， ∴4ac＜b2， ∴①正确；

∵x1为抛物线的对称轴， ∴b1， 2a1b， 212∴b＞0，a32∴②不正确；

3b， 2∴3abbbb＜0，

∵x1时，abc0， ∴c∴4a2bc4∴③正确；

1b2bcc＞0 2∵x1为抛物线的对称轴，A(1,0)， ∴B点坐标为（3,0），

∴当y0时，x的取值范围为1x∴④正确；

∵x1为抛物线的对称轴， ∴x＞1时，y随着x的增大而减小， ∴⑤不正确；

由图像可知：y1＜0，y2＞0，y30， ∴y1＜y3＜y2， ∴⑥不正确； 故选：B． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数图像的性质以及二次函数对称轴，数量掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．

3

7．A

解析：A 【分析】

结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将

y3代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案．

【详解】

解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：

∴设抛物线解析式为：yax2 ∵观察图形可知抛物线经过点B2,2 ∴2a22 ∴a1 212x 212x3 2∴抛物线解析式为：y∴当水位下降1米后，即当y213时，有∴x16，x26（不合题意舍去） ∴水面的宽度为：26m． 故选：A 【点睛】

本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．

8．A

解析：A 【分析】

由题意易得ab20，且a0,b0，则有当x=1时，y<0，即ab20，进而可得2ab2，然后由ab为整数，则有ab1或0或-1，最后求解即可． 【详解】

解：∵二次函数yaxbx2a0的图象的顶点在第四象限，且过点1,0，

2∴ab20，且a0,b0，当x=1时，y<0，即ab20， ∴ab2，且a0,ab2， ∴0a2,0b2， ∴2ab2，

∵

ab为整数，

∴ab1或0或-1，

313,b，从而ab；

422若ab0时，则有a1,b1，从而ab1；

若ab1时，则有a若ab1时，则有a故选A． 【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．

133,b，从而ab；

4229．A

解析：A 【分析】

根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x＋2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2020的坐标． 【详解】

∵A点坐标为（1，1）， ∴直线OA为y＝x，A1（−1，1）， ∵A1A2∥OA， 设直线A1A2为y＝x＋b 把A1（−1，1）代入得1=-1+b 解得b=2

∴直线A1A2为y＝x＋2，

yx2解 2yxx1x2得或，

y1y4∴A2（2，4）， ∴A3（−2，4）， ∵A3A4∥OA，

设直线A3A4为y＝x＋n，

把A3（−2，4）代入得4＝-2＋n，解得n=6 ∴直线A3A4为y＝x＋6，

yx6x2x3解得或， 2yxy4y9∴A4（3，9）， ∴A5（−3，9）

同理求出A6（4，16），A7（-4,16）A8（5，25），A9（-5,25）A10（6，36），A11（-6,36） …，

2n22n22,∴A2n为 22∴A2020（1011，10112）， 故选A． 【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．

10．B

解析：B 【分析】

2由y3x5图像开口向下，对称轴为y=0知，要使y1y2，需使A点更靠近对称轴y

轴，由此列出关于m的不等式解之即可 ． 【详解】

2解：∵y3x5图像开口向下，对称轴为y=0且y1y2

∴mm1，下面解此不等式．

第一种情况，当m＜0时，得m1m，解得m＜0；

1； 2第三种情况，当m1时，得mm1，解得，无解；

第二种情况，当0m1时，得m1m，解得m综上所述得m故选：B． 【点睛】

此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．

1． 211．C

解析：C 【分析】

根据函数图象和性质逐个求解即可． 【详解】

解：对于y＝5（x﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2）， A．二次函数y＝5（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标为（3，2），故本选项不符合题意； B．由于a＝5＞0，所以抛物线开口向上，故本选项不符合题意；

C．由于y＝5（x﹣3）2+2＝5x2﹣30x+47，则△＝b2﹣4ac＝900﹣4×5×47＝﹣40＜0，所以该抛物线与x轴没有交点，故本选项符合题意；

D．对于y＝5（x﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x＝3，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

12．C

解析：C 【分析】

先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】

解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）， ∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2）， ∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2． 故选：C． 【点睛】

本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

二、填空题

13．y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2【分析】根据甲乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（40）再根据丙所说的特点可得到抛物线与y轴的交点坐标为（03）或（0﹣3）然后利用待定系数法求出抛物线解析式

解析：y＝

【分析】

根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可． 【详解】

解：∵抛物线与x轴只有一个交点且对称轴是直线x＝4， ∴抛物线的顶点坐标为（4，0）， ∵抛物线与y轴的交点到原点的距离为3．

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2， 把（0，3）代入得3＝a（0﹣4）2，解得a＝

2

33（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2． 161633，此时抛物线的解析式为y＝（x﹣4）1616；

把（0，﹣3）代入得﹣3＝a（0﹣4）2，解得a＝﹣（x﹣4）2；

33，此时抛物线的解析式为y＝﹣1616综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝故答案为y＝【点睛】

33（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2． 161633（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2． 1616本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．

14．y2解析：y2根据二次函数的对称性、增减性可以得解． 【详解】

解：由二次函数的解析式可得x=2时y取得最小值，∴y2最小， 又由二次函数图象的对称性质可知x=0与x=4的函数值相等， ∴令x=0时函数值为y，则y1y，

再由二次函数的增减性质可知x<2时，y随着x的增大反而减小， 所以由于0>-2，因此x=0时的函数值小于x=-2时的函数值，即yy3， ∴y1y3，∴y2y1y3， 故答案为y2y1y3． 【点睛】

本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性、增减性及最大最小值的求法是解题关键．

15．【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详解】抛物线的对称轴为此抛物线与x轴的一个交点为它与x轴的另一个交点为即则关于x的一元二次方程 解析：x11,x25

【分析】

先根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】

抛物线ya(x3)m的对称轴为x3，

2此抛物线与x轴的一个交点为(1,0)，

它与x轴的另一个交点为(231,0)，即(5,0)，

则关于x的一元二次方程a(x3)2m0的根为x11,x25， 故答案为：x11,x25． 【点睛】

本题考查了二次函数与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．

16．或【分析】根据抛物线与轴有两个交点可知二次函数过原点或与轴相切故分两种情况解答：①将代入解析式；②△【详解】解：抛物线与坐标轴有两个交点①将代入解析式得；②△解得故答案为：或【点睛】本题考查的是抛物

解析：c【分析】

根据抛物线与x轴有两个交点可知二次函数过原点或与x轴相切．故分两种情况解答：①将(0,0)代入解析式；②△0． 【详解】 解：

抛物线y2xxc与坐标轴有两个交点，

210或

8①将(0,0)代入解析式得c②△18c0， 解得c0；

1． 8故答案为：c【点睛】

10或．

8本题考查的是抛物线与x轴的交点及根的判别式，熟知抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

17．156【分析】由题意可得：结合已知条件求解再求解的坐标再代入抛物线的解析式求解即可得到答案【详解】解：在抛物线上菱形ABCD＞故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的性质菱形的性质勾股定理的应用掌握以

解析：156 【分析】

由题意可得：B0，c，结合已知条件求解ABc225, 再求解C的坐标，再代入抛物线的解析式求解c即可得到答案． 【详解】 解：

B在抛物线上，

B0，c

A5,0， ABc225,

菱形ABCD，

BCABc225, Cc225,c cc225+13c225c,

c22513c225,

c2250, c22513,

c2144, c＞0，

c12,

S菱形ABCD1312=156.

故答案为：156. 【点睛】

本题考查的是抛物线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

18．＞【分析】根据抛物线y＝﹣（x+1）2+3得到开口向下对称轴为直线x＝﹣1然后根据二次函数的性质判断函数值的大小【详解】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下对称轴为直线x＝﹣1∴当x＞﹣1时

解析：＞ 【分析】

根据抛物线y＝﹣（x+1）2+3得到开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小． 【详解】

解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∵1＜2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质是解题的关键．

19．【分析】设点E（mm2﹣4m+8）过E作EM垂直于x轴交AB于点M作BF⊥EMAG⊥EM垂足分别为FG由题意可得M（mm）从而可用含m的式子表示出EM的长根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案 解析：

21 8【分析】

设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意可得M（m，m），从而可用含m的式子表示出EM的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案． 【详解】

解：设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，

由题意得：M（m，m）， ∴EM＝m2﹣4m+8﹣m ＝m2﹣5m+8 ＝(m)5227， 4∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB ＝

11EMAGEMBF 221EM(AGBF) 212

(m﹣5m+8)×（4-1） 232

(m﹣5m+8) 2＝由

3521(m)2， 22830，得S△ABE有最小值． 2∴当m＝

215时，S△ABE的最小值为． 2821． 8故答案为：【点睛】

本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．

20．【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c∵抛物线开口向下∴a＜0∵抛物线与y 解析：yx23

【分析】

根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论． 【详解】

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0．

∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3）， ∴c=-3．

取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3． 故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=-3是解题的关键．

三、解答题

21．（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元；（2）若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元 【分析】

（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x元，根据题意列出方程

202x25x600，求解即可；

（2）设超市卖玩具平均每天盈利y元，每个玩具售价降低x元，则

y202x25x，利用二次函数的性质即可求解．

【详解】

解：（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x元 根据题意得，202x25x600 解这个方程得，x15，x210

答：若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元 （2）设超市卖玩具平均每天盈利y元，每个玩具售价降低x元 根据题意得，y202x25x ∴y2x7.5612.5

2∵20

∴若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元． 【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用、二次函数的应用，理解题意并列出方程是解题的关键． 22．（1）y【分析】

（1）根据三角形的边长求出点A和点B1的坐标，设抛物线解析式为yax2，代入点B1坐标求出解析式；

（2）令x0，求出y的值，得到点D的坐标，再求出直线OB的解析式和抛物线联立求出点C的坐标． 【详解】 解：∵OA2， ∴A2,0，

∵OA14，A1B12， ∴B14,2，

设抛物线解析式为yax2， 把点B14,2代入，得4a2，解得a∴y2212x2；（2）D0,2，C35,35 21， 212x2； 2142， 2（2）令x0，得y∴D0,2，

设直线OB解析式为ykx，把点B2,2代入，得到2k2，解得k1， ∴直线OB解析式为yx，

联立直线和抛物线的解析式，得

12x2x，解得x35， 2根据点C的位置，取x35， ∴C35,35． 【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法．

23．（1）yx2-2x-3；（2）见解析；（3）－4≤y＜0 【分析】

（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）根据函数的解析式画出抛物线即可；

（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y的取值范围即可． 【详解】

2解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数yxbxc得：

c3， 1bc4解得：b2，

c32所以，二次函数的表达式为：yx2x3； （2）二次函数的图象如下：

（3）∵yx14 ∴当x＝1时，有最小值－4， 当x＝0时，y＝（0−1）2－4＝−3， 当x＝3时，y＝（3−1）2－4＝0， 又对称轴为x＝1，

∴当0≤x＜3时，y的取值范围是−4＜y≤0． 【点睛】

2本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式． 24．（1）【分析】

（1）把b2、x2代入方程可得a122a22210，然后解a关于

2221；（2）2y7 2的方程即可得解；

22（2）根据根的判别式的意义可得b24ac2ab4a1b10，2整理得ab10，利用非负数的性质得到ab1，则函数ya24a2ab为：

2ya22，再由5a1可求得函数的取值范围．

【详解】

解：（1）∵若b2，且x2是此方程的根 ∴a122a22210

22221∴a0

2∴a1a2∴a的值为

21 21． 2222（2）∵方程(a1)x2(ab)xb10有实数根

22∴b24ac2ab4a1b10

2∴ab10

2∴ab10 ∴ab1

∴函数ya24a2ab为：ya24a2a22 ∵5a1

∴可画出函数图象，如图：

2

∴函数ya24a2ab的取值范围是：2y7． 【点睛】

本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25．（1）yx2x2，（2）【分析】

（1）由二次函数的图象经过（−1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；

（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝−2，函数有最大值4；当x＝数有最小值25，（3）m1． 41时函29，进而求得它们的差； 4（3）由题意得x2−x−2＝（2−m）x＋2−m，整理得x2＋（m−3）x＋m−4＝0，解方程求得x1＝−1，x2＝4−m，根据题意得到4−m＞3，解得m＜1． 【详解】

解：（1）由二次函数y＝x2＋px＋q的图象经过（−1，0）和（2，0）两点， ∴1pq0．

42pq0p1解得．

q2∴此二次函数的表达式为y＝x2−x−2． （2）如图

∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝

121， 22∴在−2≤x≤1范围内，当x＝−2，函数有最大值为：y＝4＋2−2＝4． 当x＝

1191时函数有最小值：y＝2． 2424∴y的最大值与最小值的差为：4−（ 故答案为：

925）＝． 4425 4（3）y＝（2−m）x＋2−m与二次函数y＝x2−x−2图象交点的横坐标为a和b， ∴x2−x−2＝（2−m）x＋2−m，整理得x2＋（m−3）x＋m−4＝0， 解得：x1＝−1，x2＝4−m， ∵a＜3＜b，

∴a＝−1，b＝4−m＞3，

解得m＜1，即m的取值范围是m＜1． 【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．

26．（1）605x，4x；（2）应上涨2元或6元；（3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元． 【分析】

（1）根据销售单价上涨x元，每天销售量减少5x瓶即可得，再根据“每瓶的利润售价成本价”即可得；

（2）结合（1）的结论，根据“这款洗手液的日销售利润y达到300元”可建立关于x的一元二次方程，再解方程即可得；

（3）根据“每天的利润（每瓶的售价每瓶的成本价）每天的销售量”可得y与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】

（1）由题意得：当销售单价上涨x元时，每天销售量会减少5x瓶， 则每天的销售量为605x瓶，

每瓶洗手液的利润是20x164x（元），

故答案为：605x，4x； （2）由题意得：605x4x300， 解得x16，x22，

答：销售单价应上涨2元或6元； （3）由题意得：y(605x)(4x)， 化成顶点式为y5(x4)320，

由二次函数的性质可知，当x4时，y取得最大值，最大值为320，

答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题关键．

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