大学物理(第四版)课后习题及答案 量子物理

题17.1：天狼星的温度大约是11000℃。试由维思位移定律计算其辐射峰值的波长。 题17.1解：由维思位移定律可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长该波长

mb2.57107m257nm T属紫外区域，所以天狼星呈紫色

题17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773 K，地球的平均温度约为

293 K。若把它们看作是理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？

题17.2解：由斯特藩一玻耳兹曼定律M(T)T4可知，这两个星体辐射能量之比为

M金M地T金T地48.4 4

题17.3：太阳可看作是半径为7.0  108 m的球形黑体，试计算太阳的温度。设太阳射到地球

表面上的辐射能量为1.4  103Wm2，地球与太阳间的距离为1.5  1011m。

－

题17.3解：以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d为半径作一球面，地球处在该球面的某

一位置上。太阳在单位时间内对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因此有

4d2E （1） M(T)4R2M(T)T4 （2）

由式（1）、（2）可得

d2ETR2145800K

题17.4：钨的逸出功是4.52 eV，钡的选出功是2.50 eV，分别计算钨和钡的截止频率。哪一

种金属可以用作可见光范围内的光电管阴极材料？

题17.4解：钨的截止频率 01钡的截止频率

W11.091015Hz hW20.631015Hz h对照可见光的频率范围可知，钡的截止频率02正好处于该范围内，而钨的截止频率01大

02于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光范围内的光电管材料。

题17.5：钾的截止频率为4.62  1014 Hz，今以波长为435.8 nm的光照射，求钾放出的光电子

的初速度。

题17.5解：根据光电效应的爱因斯坦方程

h1mv2W 2其中

Wh0，c/

12可得电子的初速度

2hcv05.74105ms1

m由于选出金属的电子的速度v << c，故式中m取电子的静止质量。

－

题17.6：在康普顿效应中，入射光子的波长为 3.0  103 nm，反冲电子的速度为光速的60％，

求散射光子的波长及散射角。

题17.6解：根据能量守恒，相对论质速关系以及散射公式有

cc （1） hm0c2hmc2

0

mm0(1v2/c2)1/2

（2） （3）

0c(1cos)

由式（1）和式（2）可得散射光子的波长

4h0 4.35103nm

4h0m0c将入值代入式（3），得散射角

arccos10 c题17.7：一具有l.0  104eV能量的光子，与一静止的自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射

角为60。试问：（1）光子的波长、频率和能量各改变多少？（2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？

题17.7解：（1）入射光子的频率和波长分别为

Ec 02.411018Hz，00.124nm

h0散射前后光子波长、频率和能量的改变量分别为

c(1cos)1.22103nm

式中负号表示散射光子的频率要减小，与此同时，光子也将失去部分能量。 （2）由能量守恒可知，反冲电子获得的动能，就是散射光子失去的能量

Ekeh0hE95.3eV

由相对论中粒子的能量动量关系式以及动量守恒定律在 Oy轴上的分量式（图17-7）可得

EeE20epe2c2

2（1） （2）

（3）

EeE0eEke

hsinpesin0 c由式（1）和式（2）可得电子动量

peE2ke2E0eEkec5.271024kgms1

将其代入（3）式可得电子运动方向

arcsin

hsinpech(0)arcsinsin59032'pec

题17.8：波长为0.10 nm的辐射，射在碳上，从

而产生康普顿效应。从实验中测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直。求：（1）散射辐射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。

题17.8解：（1）由散射公式得

此有

0C(1cos)0.1024nm

（2）反冲电子的动能等于光子失去的能量，因

1117Ekh0hhc4.6610J

0根据动量守恒的矢量关系，可确定反冲电子的方向 hh0arctg/ arctg004418' 

题17.9：试求波长为下列数值的光子的能量、动量及质量：（1）波长为1500 nm的红外线；

（2）波长为 500 nm的可见光；（3）波长为 20 nm 的紫外线；（4）波长为 0. 15 nm的X射线；（5）波长为 1.0  103 nm的 射线。

h题17.9解：由能量Eh，动量p以及质能关系式mE/c2，可得

（1）当11500nm时，E1h1

hc11.331019J

p1m1h1E1c24.421028kgms1 h1.471036kg c111 3（2）当2500nm时，因2故有

E23E13.991019J p23P21.331027kgms1 m23m14.411036kg

11 753）当320nm时，因3故有

E375E19.971018J p375P13.311026kgms1 m375m11.101034kg

4）当40.15nm时，因41041，故有

E4104E11.331015J p4104P14.221024kgms1 m4104m11.471032kg

（5）当51103nm时，E5h5

hc51.991013J

p5m5h5E5c26.231022kgms1 hc52.211030kg

题17.10：计算氢原子光谱中莱曼系的最短和最长波长，并指出是否为可见光。

题17.10解：莱曼系的谱线满足

11R22 nnif1令 ni = 2，得该谱系中最长的波长max121.5nm 令ni，得该谱系中最短的波长min91.2nm

对照可见光波长范围（400～760 nm），可知莱曼系中所有的谱线均不是可见光，它们处在紫外线部分。

题17.11：在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数ni5的轨道跃迁到nf = 2的轨道上时，对外辐射光的波长为多少？若再将该电子从nf =2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能量？

题17.11解：根据氢原子辐射的波长公式，电子从ni5跃迁到nf = 2轨道状态时对外辐射光

的波长满足

11R22 521则 4.34107m43.4μm

而电子从nf = 2跃迁到游离态ni所需的能量为

EE2EE122E3.4eV 负号表示电子吸收能量。

题17.12：如用能量为12.6 eV的电子轰击氢原子，将产生哪些谱线？ 题17.12解： 根据跃迁假设和波数公式有

EEfEi1E1nf2E1ni2 （1）

11R22nnfi 将E113.6eV， nf = 1和E13.6eV（这是受激氢原子可以吸收的最多能量）代入式（1），可得ni3.69，取整ni3（想一想为什么？），即此时氢原子处于n = 3的状态。

由式（2）可得氢原子回到基态过程中的三种可能辐射，所对应的谱线波长分别为102.6nm、657.9nm和121.6nm。

题17.13：试证在基态氢原子中，电子运动时的等效电流为1.05103 A在氢原子核处，这个

电流产生的磁场的磁感强度为多大？

题17.13解：基态时，电子绕核运动的等效电流为

Iefev1eh1.05103A 222r14mr1式中v1为基态时电子绕核运动的速度，v1该圆形电流在核处的磁感强度

I B012.5T

2r1h 2mr1上述过程中电子的速度v << c，故式中m取电子的静止质量。

题17.14：已知粒子的静质量为6.68×10－27 kg，求速率为5000 km/s的粒子的德布罗意波

长。

题17.14解：由于粒子运动速率v << c，故有 m = m0，则其德布罗意波长为

hh1.99105nm pm0v题17.15：求动能为1.0 eV的电子的德布罗高波的波长。

题17.15解：由于电子的静能 E0m0c20.512MeV，而电子动能EkE0，故有

p(2m0Ek)1/2，则其德布罗意波长为

hh1.23nm p(2m0Ek)1/23RT。对应的氧分子的德布罗意波长 M题17.16：求温度为27℃时，对应于方均很速率的氧气分子的德布罗意波的波长。 题17.16解：理想气体分子的方均根速率v2

NAhhh2.58102nm pmv23MRT题17.17：若电子和光子的波长均为0.20 nm，则它们的动量和动能各为多少？

题17.17解：由于光子与电子的波长相同，它们的动量均为

ph3.221024kgms1

光子的动能 电子的动能

EkEpc6.22KeV(对光子：m00,E00)

p2Ek37.8keV （此处电子动能用非相对论方法计算）

2m0题17.18：用德布罗意波，仿照弦振动的驻波公式来求解一维无限深方势阱中自由粒子的能量

与动量表达式。

题17.18解：势阱的自由粒子来回运动，就相当于物质波在区间a内形成了稳定的驻波，由两端固定弦驻波的条件可知，必有an/2，即

2an(n1,2,3,)

h由德布罗意关系式p

，可得自由粒子的动量表达式

phnh2a(n1,2,3,)

p2由非相对论的动量与动能表达式E，可得自由粒子的能量表达式

2m

n2h2E8ma2(n1,2,3,)

从上述结果可知，此时自由粒子的动量和能量都是量子化的。

题17.19：电子位置的不确定量为5.0  10－2nm时，其速率的不确定量为多少？

题17.19解：因电子位置的不确定量x5102nm，由不确定关系式以及pxmvx可得

电子速率的不确定量

vxh1.46107ms1 mx题17.20：铀核的线度为7.2  10－5m。求其中一个质子的动量和速度的不确定量。

7.21015题17.20解：对质子来说，其位置的不确定量rm3.61015m，由不确定关系

2式rph以及pmv，可得质子动量和速度的不确定量分别为

pvh1.1020kgms1 rp1.13107ms1 m题17.21：一质量为40g的子弹以1. 0  103 m/s的速率飞行，求：（ 1）其德布罗意波的波长；

（2）若子弹位置的不确定量为0.10 m，求其速率的不确定量。

题17.21解：（1）子弹的德布罗意波长为

h 1.661035m

mv（2）由不确定关系式以及pxmvx可得子弹速率的不确定量为

vpxh1.661028ms1 mmx－34

由计算可知，由于h值极小，其数量级为10，故不确定关系式只对微观粒子才有实际

意义，对于宏观物体，其行为可以精确地预言。

题17.22：试证如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于

或等于其速度。

hhp，而v，xm题17.22证：由题意知，位置不确定量x，由不确定关系式可得p故速度的不确定量

vhp，即vv mm题17.23：已知一维运动粒子的波函数为

Axexx0(x)

x00式中0，试求：（1）归一化常数A和归一化波函数； （2）该粒子位置坐标的概率分布函数（又称概率密度）；（3）在何处找到粒子的概率最大。

2题17.23解：（l）由归一化条件

(x)dx1，有

22x

00dxAxe02222xdxAxe02A2dx31

40A2 （注：利用积分公式y2ebydy2） b3经归一化后的波函数为

x02xex(x)

x00（2）粒子的概率分布函数为

43x2e2xx0(x)

x002（3）令

d[(x)]dx20,，有43(2xe2x2x2e2x)0，得x0，x1和x时，函数(x)2有极值。由二阶导数现的概率最大。

d2(x)dx22x10可知，在x1处，(x)有最大值，即粒子在该处出

2题17.24：设有一电子在宽为0.20 nm的一维无限深的方势阱中。（1）计算电子在最低能级的

能量；（2）当电子处于第一激发态（n = 2）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？

h2题17.24解：（1）一维无限深势饼中粒子的可能能量Enn，式中a为势阱宽度，当

8ma2量子数n =1时，粒子处于基态，能量最低。因此，电子在最低能级的能量为

2h2E11.511018J9.43eV

8ma（2）粒子在无限深方势阱中的波函数为

(x)2nsinx,n1,2,... aa22sinx,0xa aa当它处于第一激发态（n = 2）时，波函数为

(x)相应的概率密度函数为

(x)令得

222sin2x,0xa aad[(x)]dx20

82x2xsincos0 a2aa在0xa的范围内讨论可得，当x =0,

aa32, , a和a时，函数(x)取得极值。由4240可知，函数在x = 0, x = a/2和x = a（即 x = 0, 0.10nm, 0.20 nm）处概率最小，dx其值均为零。

――

题17.25：在线度为1.0  105 m的细胞中有许多质量为m = 1.0  107kg的生物粒子，若将生

d[(x)]2物粒子作为微观粒子处理，试估算该粒子的n = 100和n = 101的能级和能级差各是多大。

题17.25解：按一维无限深方势阱这一物理模型计算，可得

h2n100时，E1n5.491037J 28ma2h2n101时，E2n5.601037J 28ma2它们的能级差 EE2E11.111038J

题17.26：一电子被在宽度为 1.0  1010 m的一维无限深势阱中运动。（1）欲使电子从基

态跃迁到第一激发态，需给它多少能量？（2）在基态时，电子处于x1 = 0.090×1010 m与x2 = 0.110  1010 m 之间的概率为多少？（3）在第一激发态时，电子处于x1'0与x2'0.251010m 之间的概率为多少？

题17.26解：（l）电子从基态（n = 1）跃迁到第一激发态（n = 2）所需能量为

h2h22EE2E1nn1112eV

8ma28ma2222（2）当电子处于基态（n = 1）时，电子在势阱中的概率密度为(x)区间宽度xx2x1，区间的中心位置xc2sin2x。所求aax1x2，则电子在所求区间的概率近似为 2P1x2x1(x)dx1(xc)x222xx2sin2(1)(x2x1)3.8103 aa22（3）同理，电子在第一激发态（n = 2）的概率密度为2(x)求区间的概率近似为

P2222x1'x2'sin()(x2'x1')0.25 aa222sin2x，则电子在所aa

题17.27：在描述原子内电子状态的量子数n，l，ml中，（l）当n = 5时，l的可能值是多少？

（2）当l5时，ml的可能值为多少？（3）当l4时，n的最小可能值是多少？（4）当n =

3时，电子可能状态数为多少？

题17.27解：（1）n = 5时，l的可能值为5个，它们是l= 0，1，2，3，4；

（2） l= 5时，ml的可能值为11个，它们是ml= 0，1，2，3，4，5；

（3）l= 4时，因为l的最大可能值为（n  1），所以n的最小可能值为5； （4） n = 3时，电子的可能状态数为2n2 = 18。

题17.28：氢原子中的电子处于n = 4、l= 3的状态。问：（1）该电子角动量L的值为多少？

（2）这角动量L在z轴的分量有哪些可能的值？（3）角动量L与z轴的夹角的可能值为多少？

题17.28解：（1） n = 4, l= 3时，电子角动量

Ll(l1)hh12 22 （2）轨道角动量在z轴上的分量Lzml1，2， 3，则Lz的可能取值为0, h，对于 n = 4，l= 3的电子来说ml= 0，2h2h3h。 ,,222mlLzarccos，如图所示，当ml分别取3，Ll(l1)（3）角动量L与z轴的夹角arccos2，1，0，1，2，3时，相应夹角分别为30，55，73，90，107，125，150。

题17.29： 氢介于原子是由一质子和一绕质子旋转的介子组成的。求介子处于第一轨道（n =

1）时离质子的距离。（介子的电量和电子电量相等，介子的质量为电子质量的210倍）

题17.29解：由题意可知，氢介子原子在结构上与氢原子相似，故可采用玻尔氢原子理论的

有关公式求解。

0h2氢介子原子第一轨道半径r1'，

m'e20h2与氢原子第一轨道半径r10.5291010m相比较，可得 2me

r1'rmr112.521013m m'21013题17.30：已知氢原子基态的径向波函数为R(r)(4r1)1/2er/r，式中r1为玻尔第一轨道半径。

求电子处于玻尔第二轨道半径（r24r1）和玻尔第一轨道半径处的概率密度的比值。

题17.30解：电子在核外r处的径向概率密度(r)R(r)r2，将不同的r值代入后，可得电

子在相应r处的径向概率密度。则电子处于玻尔第二轨道和玻尔第一轨道的概率密度的比值为

p2R2(r2)r2e8r1r116r122rr216e63.97102 2p1R(r1)r1e11r1222