压缩映射原理及其应用 数学毕业论文.

摘 要: 本文较详细地论述了Banach空间中的压缩映射原理，以及它在关于

一些问题的解的存在唯一性定理证明中的广泛应用。

关键词: 抽象函数,不动点,压缩映射,抽象微分方程,隐函数存在性理 引 言: 压缩映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解问题，它不仅具有实 义，而且对泛函分析理论的发展起着重大作用。

我们首先介绍不动点和压缩映射的定义以及压缩映射原理，并在此基

础上，进一步给出一个推广的压缩映射原理。压缩映射原理不仅指出了算子方程x=Fx的解的存在性和唯一性，而且给出了近似求解的方法及误差估计，因而是很有用的。微分方程初值问题的解的存在唯一性定理及毕卡(Picard)逐次逼近法就是它的特例。在Banach空间中这一问题将更为普遍。数学分析中的隐函数存在定理也是压缩映射原理的一个特例。 一、几个定义及压缩映射原理

定义1 设X，Y为巴拿赫空间，算子F:XY（一般地，F是非线性的）。如果存在有界线性算子A(X,Y)使得关系式

limt0F(x0th)F(x0)Aht

对于满足h1的hX是一致成立的，则称算子F在点x0X处是

'弗力许（Fréchet）可微的，并记F(x0)A，称为算子F在点x0处的

弗力许导数。

为了给出关于算子的有限增量公式（相当于中值定理），我们引入关于抽象函数的积分的概念。

设x(t)是由实数域到巴拿赫空间X的算子。这种算子通常称为“抽象函数”。现设x(t)的定义域是区间[a，b]。将[a，b]分成n个小区间，分点为

at1t2tnb

记此分划为

，tititi1及d()maxti在每个小区间

[ti1,ti]上任取一点i，作和式

x()tii1ni (*)

定义2 如果对任意的分划及i的任意取法，当d()0时和式(*)都收敛（在X中范数意义下）于同一个元素rX，则抽象函数x(t)在[a，b]上黎蔓可积的，r称为x(t)在[a，b]上的黎蔓积分，记为

上弗力许可薇，且

bax(t)dtr

性质1 设抽象函数x(t)黎蔓可积，则抽象函数u(t)x(s)ds在[a，b]

atu'(t)x(t),atb (**)

定义3 设X为巴拿赫空间，F为由X到X的算子，且D(F)R(F)非空。如果x*∈X满足

F(x*)=x*

则称x*为算子F的不动点。换句话说，不动点x*是算子方程

x=F(x) (1)

的解。

定义4 设集合QD(F)，如果存在常数q∈(0，1)，使得对任意的

x',x''Q均有不等式

||F(x)-F(x)||≤q||x-x|| (2)

则称F为集合Q上的压缩算子，q称为压缩系数。

定理1(压缩映射原理) 设算子F映巴拿赫空间X中的闭集Q为自己。且F为Q上的压缩算子，压缩系数为q，则算子F在Q内存在唯一的不动点

x*。若x0为Q中任意一点，作序列

''''''xn1F(xn`),n0,1,2, （3）

则序列{xn}Q,且xnx**。并有误差估计

qnxnxF(x0)x0 (4)

1q 证明：由于FQQ.故{xn}Q设利用算子F的压缩性，可依次得到:

x1x0F(x0)x0,x2x1F(x1)F(x0)qx1x0qx3x2F(x2)F(x1)qx2x1q2

xn1xnqn （5）

现

在

估

计

xnpxn.。利用(5)式可得到

xnpxnxnpxnp1xnp1xmp2xn1xnqnp1qnp2qn1q1q

即

(qnqnp)qnxnpqnxnF(x0)x0 （6）

1q*由此可知{xn}是柯西点列，由X的完备性知存在x使得xnx.又因Q是闭集故xQ.

现在证明x是算子F的不动点，由算子F在Q上的压缩性知其在Q上连续。事实上，如果x''x',x,'x''Q,则由式(2)知F(x'')F(x').于是在式(3)中令n。即得xF(x).

再证

x的唯一性。设若另有一不动点

xxF(x)F(x)qxx

x则

由于q(0,1)故上式只能在xx0时成立于是x=x.至于估计式（4）的证

明只需在式（6）中令p。证毕。

压缩映射原理最常用的两种特殊情形是Q=X及Q=sr(a)----X中的闭球。对于后者，如下列推论所述

推论1设F为闭球Sr(a)X上的压缩算子，压缩系数为q，R（F）X,且

F(a)a(1q)r （7）

则F在Sr(a)中有唯一不动点x且序列（3）收敛于x,，收敛速度为式（4），初始近似x0可在Sr(a)中任取。

证明 ： 只要证F映Sr(a)为自己。如果xSr(a,)即xar,则

F(a)aF(x)xxaqxa(1q)rqr(1q)rr二、推广的压缩映射原理

。

设算子F映集合QX为自己。对任一自然数n，算子F的n次幂定义为:当

2n1F(x)已经定义，则令 xQ时令F(x)FF(x),如果

FnFFn1(x).

k定理2 设算子F映闭集QX为自己且对某一自然数k算子F为Q上

的压缩算子则F在Q中存在唯一的不动点x逼近序列（3）收敛于x初始近似

x0Q为任意。

证明 ： 当k=1时即为定理1。现设k1。考察算子G=F，根据定理1，G在Q上有唯一的不动点x，因为算子F与G在Q上可交换，故有

G（F（x））=F（G（x))F(x)

此即表明F（x)也是G的不动点。但G的不动点是唯一的，故F（x)x即

x也是F的不动点。下证x唯一。如果另有xQ，满足F(x)x，则

kG(x)Fk(x)x。但G的不动点是唯一的，故x=x。证毕。 三、压缩映射原理的应用

在微分方程，积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性唯一性以及近似解的收敛性等都是很重要的问题。为了证明一个微分方程,积分方程或其它类型的方程存在解。我们可以将它变成求某一映射的不动点。现在以大家熟悉的一阶常微分方程

dydxf(x,y) (8)

为例来说明这一点。求微分方程（8）满足初始条件y程

y(x)y0f(t,y(t))dtx0

xx0y0的解与求解积分方

等价。为了求解积分方程（9），我们可以根据f（x，y）所满足解析条件适当地取一个度量空间，并在这个度量空间中作映射，

(T)(x)y0f(t,(t))dtx0x

于是方程（9）的解就转化为求使它满足T。也就是求出这样的，它经映射T作用后仍变为，这种称为映射T的不动点。因此求解方程（8）就变成求映射T的不动点。

考察微分方程

dyf(x,y)dt (10) yy0xx0其中f(x，y)在整个平面内连续，此外还设f(x，y)关于y满足李普希茨条件：

f(x,y)f(x,y')kyy'则通过点(x0,y0)微分方程（10）有一条且只有一条积分曲线。

证明 ： 问题（10）等价于求解下面的积分方程

y(x)y0f(t,y(t))dtx0x

我们取0使k1用C[x0,x0]表示在区间[x0,x0]上的连续函数组成的空间，在C[x0,x0]中定义算子(映射)F:

Fy(x)y0f(t,y(t))dtx0x则

f(y1)F(y2)maxxx0maxxx0xx0[f(t,y1(t))f(t,(y2(t))]dtxx0ky1(t)y2(t)dtkmaxy1(t)y2(t)xx0ky1y2因k1，由压缩映射原理，存在唯一的连续函数y(x)，使

x

y(x)y0f(t,y(t))dt

x0由此可以看出，y(t)还是连续可微的，于是y=y(t)便是微分方程(10)通过

(x0,y0)的积分曲线。但只定义在[x,x]上，重复利用压缩映射原理，可

00以将它延拓到整个数轴上。 四、巴拿赫空间中的微分方程

对于微分方程初值问题的解的各种存在唯一定理，利用压缩映射原理，可以给出一种很简单的证明。下面我们在巴拿赫空间中讨论这一问题，这样做具有普遍性，却并不增加证明的复杂性。

设x(t)为从实数域到某一巴拿赫空间X的抽象函数.我们要讨论的是非线性微分方程

dxf(t,x) (11) dt其中F(t,x)是关于两个变元的非线性算子,实变量t0,而x是X的元素.F的值域也在X中.

dx的意义与通常理解的相同: dtdxx(tt)x(t)limdtt0t

现在假设F为已知,所谓微分方程(11)的初值问题是指求x(t),它满足(11)及初始条件

x(0)x0 (12)

其中x0X。

定理3 设当x为固定且xx0r时F(t，x)在t[0,b]上连续，而当

t[0,b]及xx0r时有

F(t,x)c (13)

F(t,x1)F(t,x2)lx1x2 (14)

r11则在[0，a](amin(,,))上初值问题(11)，(12)存在唯一解x(t)，且

clbx(t)x0r（当t[0,a]时）。

证明： 所讨论的问题等价于积分方程

x(t)x0F(s,x(s))ds (15)

0t 事实上，设x(t)是初值问题(11)，(12)的解，则可将x(t)代入方程(15)，再从0到t积分，考虑到条件(12)，即得式（15），反之设x(t)满足方程（15），注意到当s[0,a]时抽象函数F(s，x(s))连续，这是因为

F(s,x(s))F(s,x(s))F(s,x(s))F(s,x(s))F(s,x(s))F(s,x(s))

lx(s)x(s)F(s,x(s))F(s,x(s))

又根据x(t)的连续及F(t，x)对t的连续性，当s,s[0,a]且ss时上式右端的两项均趋于零。根据式(**)即知

x'(t)F(t,x(t))

表明x(t)是问题(11)(12)的解。因此，初值问题(11)(12)等价于求方程(15)的解。

记在[0，a]上连续，在X中取值的抽象函数x(t)的全体所构成的巴拿赫空间为CX[0,a]，其范数定义为

x(t)maxx(t)0ta

考察在CX[0,a]中的闭球

Sr(x0){xCX[0,a];x(t)x0r则非线性算子

(x)x0F(s,x(s))ds0t

映Sr(x0)为自己。这是因为

(x)x0max0taF(s,x(s))ds0tmax0tat

0F(s,x(s))dsacr其中用到了不等式(13)及a的定义。同时，(x)是S0(x0)上的压缩算子，这是因为由条件（14）知

(x1)(x2)maxF(s,x1(s))F(s,x2(s))ds0ta0talx1x2qxxx2

其中q=al<1（由a之定义）。于是利用压缩映射原理，方程（15）在球Sr(x0)中存在唯一解x(t)。定理得证。

这一定理的不足之处是初值问题（11），（12）的解仅确定在[0，a]上而不是在[0，b]上。对于算子F(t，x)附加以较强条件时可以弥补这个缺陷。

定理4 设算子F(t,x)对每一固定的x,关于t[0,b]连续且满足李普希茨条件:

F(t,x1)F(t,x2)lx1x2

则初值问题(11)、（12）在[0,b]上存在唯一解.

我们给出两种证明它们都很简单而富有启发性.

第一种证明 如上所述，可等价地讨论积分方程（15）。 在巴拿赫空间CX[a,b]中考察积分算子

我们有下列估计

(x)x00F(s,x(s))dstt

(x1)(x2)l0x1(s)x2(s)ds 由此又有

ltx1x2

(x1)(x2)l0(x1(s))(x2(s))ds22tl2sx1x2ds0tl2t2x1x22!

一般地，我们有

lntn(x1)(x2)x1x2n!

nn

在[0，b]上取最大值，得到

lnbn(x1)(x2)x1x2n!

nnnnlb由于当n时

n!0故对于充分大的

n，是CX[0,b]中的压缩算

n子。于是定理得证.

第二种证明 在巴拿赫空间CX[0,b]中引入另一种范数

x(t)(显然elblmaxeltx(t)0tb

x(t)x(t)lx(t))。我们证明积分算子是这种范数下的压缩算

子。事实上

(x1)(x2)lx1(s)x2(s)eltelsds0tlelsds0tx1x2l(elt1)x1x2

乘以因子e，再在[0，b]上取max，得到

lt(x1)(x2)故压缩系数为1e。定理得证 五、一个特例----隐函数存在定理

定理5 设函数在带状域

lbl(1elb)x1x2l

axb， y 中处处连续,且处处有关于y的偏导数

f'y(x,y).如果还存在常数m和M,满足

0mfy(x,y)M， m则方程f(x，y)=0在区间[a，b]上必有唯一的连续函数y(x)作为解:

'f(x,(x))0,x[a,b]

证：在完备空间C[a，b]中作算子(映射)F，使对任意的函数有

(F(x))(x)1f(x,(x))。按照定理条件，f(x，y)是连续的，故(F)(x)M也连续，即FC[a,b]所以F是C[a，b]到自身的映射。

现证F是压缩算子。任取,2C[a,b]1根据微分中值定理，存在01满足

(F2)(x)(F1)(x)2(x)2(x)1(x)11f(x,2(x))1(x)f(x,1(x))MM

1'fy[x1(x)(2(x)1(x))](2(x)1(x))Mm2(x)1(x)(1)M由于

0m1M，所以令q1mM，则有0F2(x)F1(x)q2(x)1(x)因此，F是压缩映射。由定理1，存在唯一的C[a,b]满足F，即

(x)(x)

1f(x,(x))，这就是说 Mf(x,(x))0， axb

定理证毕 参考文献:

[1]夏道行，严绍宗，吴卓人，舒五昌:实变函数论与泛函分析[M](下)，1985； [2]郑维行，王声望：实变函数与泛函分析概要[M]（第二册），1980； [3]关肇直，张恭庆，冯德兴：线性泛函入门[M]，1979； [4]蒋尔雄，高坤敏，吴景琨：线性代数[M]，1979； [5]定光桂：巴拿赫空间引论[M]，1984；

[6]柳重堪，《应用泛函分析>>[M]，国防工业出版社，1986； [7]叶怀安，《泛函分析》[M]，安徽教育出版社，1984；

[8]程其襄等，<〈实变函数与泛函分析基础〉>[M]，高教出版社，1984； [9]张鸣歧，<〈应用泛函分析引论〉>[M]，北京理工大学出版社，19。

Abstract: This paper expound the fact compression of Banach shine upon principle ， and

about store it in in detail。

Keywords: Abstract function; Do not move a bit; Compress and shine upon; Abstract

differential equation; Having theorem of implicit function