２Ｏ１４年２月 第６期 教育教学论坛 ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ＴＥＡＣＨＩＮＧ ＦＯＲＵＭ Ｆｅｂ．２Ｏ１ ４ ＮＯ．６ 浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用 王业双 （重庆市巫山县坪南小学，重庆４０４７００） 摘要：反证法是一种重要的证明方法，是中学生必须掌握和灵活运用的一种重要的证明方法。文章介绍了反证法的 原理及一般步骤，探索反证法在中学数学中的运用。 关键词：反证法；证明；矛盾；应用 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—９３２４（２０１４）０２—００７７—０２ 在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反 证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入 手甚至无法人手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易 举。 程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证 反证法原理及解题步骤 １．反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某 一、命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不 成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的 反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在 中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答， 但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经 过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题 相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确 结论。 法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步 骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾： 与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设 不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽 管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度 较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例 总结几种常用反证法的情况。 二、反证法在中学数学中的应用 反证法虽然是在平面几 何教材中提出来的，但对数学 的其他部分内容如代数、三角 ２．反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过 着钉下去，使课桌变得很牢固。这种经验使学生感悟到物体 的形状会带来某些特殊的物理性质。因此，培养学生空间观 念需要大量的实践活动，并且需要给学生充分的时间进行 动手操作。要使得平面上的立体图形与实物产生直接感知， 必须引导学生自主探索、亲身实践。只有当学生脑海中的立 体模型达到一定的数量，能够把基础的立体模型进行简单 至复杂的组合时，学生的空间想象能力才能得到有效的提 高。如“把一张长方形纸减去四个角，折成一个长方体”，这 是由平面图形转换成立体图形，应让学生按照题目要求动 手做一做，体会长、宽、高的变化。值得注意的是，学生在动 手操作的过程中，不仅仅是在解决这个问题，同样也在为这 类问题构造相关立体模型。 三、想一想，形成空间表象 想一想，就是让学生充分发挥自己的想象力，通过想 函数一、立体几何、解析几何中 都可应用反证法。那么，究竟 什么样的命题可以用反证法 图２—１直线相交图 点，得出正方体的概念。这时要求学生利用已有长方体的模 型，想象一下，通过棱的缩短，面的移动，形成正方体的表 象。这样，通过联系和比较，突出立体图形之间的内在联系， 把已有模型在脑海中进行变形或在组合，逐步形成比较完 整的空间概念，促进了学生空间观念的发展。 四、画一画，巩固空间观念 画一画，有利于学生进一步巩固空间观念。新课标中指 象、绘制和比较放在不同位置上的物体或实物模型，逐步形 成各种表象，再进一步确立空间观念。想象不但要和观察、 实验等活动结合起来，而且要具有现实生活中的实际依据。 平常让学生多“动手操作”，是为形成空间表象而准备，但处 处依赖“动手操作”来帮助建立图形的空间观念是不够的。 在一些客观因素下，学生没有动手操作的材料或动手操作 的可能性的时候，问题的解决就必须依靠以往的知识经验。 如何让平时的模型为己所用，还需要学生在有模型时要多 想一想，充分理解其各部分的空间关系。例如：“一个三角形 的一条直角边旋转一周，形成什么图形？”让学生通过实际 操作，得出答案后，提出问题：“按直角三角形一个锐角的顶 点旋转一周，形成什么图形？”由于在学生通过刚才操作，形 成三角形旋转的模型，利用这个模型从思维上推导出答案， 形成一个新型的空间表象。又如“正方体的认识”，在学生已 经学习了长方体后，观察正方体与长方体的相同点和不同 一出“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实 物的形状”，培养和提高学生的绘图、识图能力是小学阶段 几何初步知识教学的核心。在教学过程中应该注意让学生 观察模型，根据模型画出图形，再由图形想象空间形状和位 置，使学生更好地把握几何图形的特征。比如，在长方体教 学的过程中，由于学生是第一次正式接触几何图形，需要有 步骤地指导学生绘制直观图的一般方法，提高学生的绘图 能力。在教学中要求学生依次说出长方体的棱特征，并分别 画出长、宽、高，再通过简单地将实线转化为虚线后，让学生 观察平面上的立体图形，理解“侧面”和“上面”在平面图上 所呈现的形状，要求学生将其想象成空间立体图形。实践表 明，通过画一画，理解实物与立体图形之间的转化，这需要 学生凭借想象在自己的思维空间进行创造。所以学生的空 间观念，需要通过具体的情景让学生经历从事物抽象成空 间几何图形的过程，逐步帮助学生建立空间概念和培养空 间想象能力。 小学生空间观念的发展十分重要，它对几何乃至其它 任何学科的学习，对各种数学能力的培养都有很大的影响。 我们要探究各种方法，通过展示模型和学生的操作，引导学 生观察，在意识中形成物体的空间表象，进而在表象的基础 上引导学生绘图，大胆地把主动权放手给学生，让学生的思 维自由驰骋，有效的提高学生的空间想象能力。 ７７— ２０１４年２月 教育教学论坛 ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ＴＥＡＣＨＩＮＧ ＦＯＲＵＭ Ｆｅｂ．２Ｏ１ ４ ＮＯ．６ 第６期 中专学生在地理学习中的问题及对策 孙芳 银川７５００００） （宁夏幼儿师范学校，宁夏摘要：地理是一门趣味性、应用性较强的学科，中专学生刚学习地理知识时热情很高，但接触了地球、地图等抽象概 念后，很多学生难以准确把握各种概念、不能综合运用相应概念解答问题，产生学习障碍。学习障碍是地理教学中经常出 现的“绊脚石”，分析形成地理学习障碍的原因，谋求克服地理学习障碍的有效方法，成为地理教学的重要任务。 关键词：中专生；地理学习；对策 中图分类号：Ｇ７１８．３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—９３２４（２０１４）０６—００７８—０３ 地理是－Ｉ＇１趣味性、应用性较强的学科，在高中学习部 接触了地球、地图等抽象概念后，很多同学就出现了学习困 分的主要学习内容是以自然地理和人文地理为主的知识， 难、对学习没兴趣等问题。本文着重就中专学生在地理学习 而以我校为例的中专学校的学习内容与高中学校是一样 中产生的问题及解决这一问题的对策进行论述。 的，但是在学习难度上大大地降低了，只要求学生掌握基本 一、学生在地理学习中出现的问题 的知识点就可以了，学生刚学习地理知识时热情很高，但在 １．学生的基础知识掌握得不扎实，地理的基本概念不 来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命 根Ｘ１・ｘ２，Ｘ１＝ｂｓｉｎ Ｘ１＋ａ，Ｘ１＝ｂｓｉｎ ＸＩ＋ａ， 二式相减得ｘ１－ｘ２＝ｂ 题。 （ｓｉｎｘ１一ｓｉｎｘ２）＝２ｂｃｏｓ（ｘ１＋ｘ２）／２ｓｉｎ（ｘ１一Ｘ２）／２， １．基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类 从而Ｉｘ１一Ｘ２Ｉ＜￣２ｂｓｉｎ（Ｘ１－Ｘ２）／２≤２ｂ（ｘｌ－ｘ２）／２＝ｂｌｘ１一ｘ２１，即 命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或 Ｉｘ１一ｘ２１＜￣ｂｌｘ１一Ｘ２Ｉ，此与Ｘｌ≠ｘ ０＜ｂ＜１矛盾。原命题得证。 由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明人手较难， 三、应用反证法应该注意的问题 此时应用反证法容易奏效。 对于同一命题，从不同的角度进行推理，常常可以推出 例１求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图， 不同性质的矛盾结果，从而得到不同的证明方法，它们中有 直线ａ、ｂ相交于点Ｐ，求证：ａ，ｂ只有一个交点。证明：假定ａ，ｂ 繁冗复杂，有简单快捷，因此，在用反证法证明中，应当从命 相交不只有一个交点Ｐ，那么ａ，ｂ至少有两个交点Ｐ、Ｑ。于是 题的特点出发，选取恰当的推理方法。 直线ａ是由Ｐ、Ｑ两点确定的直线，直线ｂ也是由Ｐ、Ｑ两点确定 １．必须正确“否定结论”。正确否定结论是运用反证法 的直线，即由Ｐ、Ｑ两点确定了两条直线ａ，ｂ。 的首要问题。 与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则ａ，ｂ不可 ２．必须明确“推理特点”。否定结论导出矛盾是反证法 能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。 的任务，但出现什么样的矛盾是不能预测的。一般是在命题 ２．否定性命题。否定性命题，也就是结论以否定形式出 的相关领域里考虑，这正是反证法推理的特点。只需正确否 现的命题，即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等 定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一 形式出现的命题，直接证法一般不易人手，而运用反证法能 出现，证明即告结束。 使你见到“柳暗花明又一村”的景象。 ３．了解“矛盾种类”。反证法推理过程中出现的矛盾是 ３．存在性问题。在存在性问题中，结论若是“至少存 多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾， 在”，其反面是“必定不存在”，由此来推出矛盾，从而否定 可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾， “必定不存在”，而肯定“至少存在”。我们用反证法来证明。 可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。 例２已知Ｘ∈Ｒ，ａ＝ｘ２＋０．５，ｂ＝２一Ｘ，ｅ＝ｘ２－ｘ＋ｌ求证：ａ，ｂ，ｃ 反证法是一种简明实用的数学解题方法，也是一种重 中至少有一个不小于１。证明：假设ａ，ｂ，ｃ都小于１，则 要的数学思想。学会运用反证法，它可以让我们掌握数学逻 ２ｘ２－２ｘ＋３．５＜３，而２ｘ２＿２ｘ＋３．５＝２（Ｘ一０．５） ＋３≥３与２ｘｚ一２ｘ＋３． 辑推理思想及间接证明的数学方法，提高观察力、思维能 ５＜３相矛盾，假设不成立，即命题成立。 力、辨别能力，以及养成严谨治学的习惯。我认为，只有了解 ４．无穷性命题。无穷性命题是指在求证的命题中含有 这些知识，在此基础上再不断加强训练，并不断进行总结， “无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手时，我 才能熟练运用。 们常使用反证法。 参考文献： 例３证明、／３是无理数。证明：假设、／３不是无理 ［１】陈志云，王以清．反证法Ｕ］．高等函授学报（自然科学版）， 数，那么、／ 是有理数，不妨设、／ ＝里（ｍ，ｎ为互质的整 ２０００，１３（６）：２０－２３． ｎ ［２】阎平连．浅谈反证法在初中数学中的运用卟吕梁高等专科学 数）， ｍｚ＝３ｎ：，即有ｎｌ是３的倍数，又设ｍ＝３ｑ（ｑ是整数），代 校学报，２００２，１８（１）：２８—２９． 人上式得ｎ２＝３ｑ ，这又说明ｎ也是３的倍数，那么ｍ与ｎ都是３ 【３】张安平．反证法——证明数学问题的重要方法卟教育教学， 的倍数，这与我们假设ｍ、ｎ互相矛盾，．．．、／丁是无理数。 ２０１０，１（１１）：１７９—１８０． 【４】张世强．浅析“反讧法”卟成都教育学院学报，２０００，６（０６）： ５．唯一性命题。有关唯一性的题目结论以“…只有一个 ０９－１０． …”或者“……唯一存在”等形式出现的命题，用反证证明， 【５］路从条．“反证法”思想在中学数学中的应用卟福建教育学院 常能使证明过程简洁清楚。 学报，２００３，１（０３）：８４－８５． 例４设０＜ｂ＜ｌ，ａ∈Ｒ，方程ｘ＝ｂｓｉｎｘ＋ａ的实根存在，求证 【６］朱慧．反证法在中学数学证明题中的应用卟教育教学论坛， 其实根唯一。证明：假设实根不唯一，则至少有两个相异实 ２０１０。１（３５）：５３—５４． 一７８—
