利用导数求参数的取值范围

课型：专题复习课

复习重点：利用导数的有关知识，求参数的取值范围

基础知识：导数的几何意义、函数的极值和最值的求法、函数单调性的充要条件的应用．

复习难点：解题方法灵活变通．

一． 已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上

例１．设函数f(x)2x33(a1)x26ax8其中aR．

(1)若f(x)在x3处得极值,求常数a的值.

(2)若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围略解：（１）由f'(3)0解得a3.经检验知a3时,x3为f(x)的极值点 （２）方法１：f'(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)

当a1时,f(x)在(,1),(a,)上递增,符合条件.当a1时,f(x)6(x1)20恒成立,f(x)在(,)上递增.当a1时,f(x)在(,a),(1,)上递增,要保证f(x)在(,0)上递增,则0a1综上所述.a0时,f(x)在(,0)上递增.方法２：

因为f(x)在(,0)上递增所以f'(x)0在x(,0)上恒成立即x(x1)a(x1)在x(,0)上恒成立x0,x10xa从而a0

方法３．

保证f'(x)6x26(a1)x6a在(,0]上最小值大于或等于零a1a100故有2或2f'(0)00可解得a0

解题方法总结：求f'(x)后，若能因式分解则先因式分解，讨论f'(x)=0两根的大小判断函数f(x)的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 基础训练：

1.设函数f(x)2x33(a1)x21,其中a1(1).求f(x)的单调区间;(2).讨论f(x)的极值.

类型2．参数放在区间边界上

例２．已知函数f(x)ax3bx2cxd在x0处取得极值,曲线yf(x)过原点和点ｐ(-1,2),若曲线yf(x)在点P处的切线与直线y2x的夹角为45且切线的倾斜角为钝角.

(1)求f(x)的表达式

(2)若f(x)在区间[2m-1,m+1]上递增,求m的取值范围.

略解 (1)f(x)x33x2

(2)f'(x)3x26x3x(x2)可知f(x)在(,2),(0,)上递增,在(2,0)上递减从而只要保证[2m1,m1]是(,2)或(0,)的一个子区间m122m10 所以或m12m1m12m11解得m(,3][,2]2总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可. 基础训练：

2.已知函数f(x)x33x27,若f(x)在[a,a1]上单调递增,求a的取值范围.

二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上

2例3.已知f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值

3(1)求ａ、ｂ的值及函数f(x)的单调区间．

(2)若对x[1,2],不等式f(x)c2恒成立，求ｃ的取值范围．

1略解：(1)a,b2

2

22223(2).f'(x)3x2x2,由3x2x20得x或x1且f()c,f(1)c332721 f(1)c,f(2)2c,所以f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)2c2从而c22c，解得c1或c2总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练：

x23.已知函数f(x)x2x5,若对任意x[1,2]都有f(x)m则实数m的取值范围是__________23

类型2．参数放在区间上

例４．已知三次函数f(x)ax35x2cxd图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值.

（１） 求f(x)的解析式.

（２） 当x(0,m)时, f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围.

分析:(1)f(x)x35x23x9

(2).f'(x)3x210x3(3x1)(x3)11由f‘(x)0得x1,x23当x(0,)时f'(x)0,f(x)单调递增，所以f(x)f(0)9331当x(,3)时f'(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)f(3)03所以当m3时f(x)0在(0,m)内不恒成立，当且仅当m(0,3]时f(x)0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]基础训练：

4.若不等式x44x32a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是___________.

三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围． 例5.已知函数f(x)ax3bx23x在x1,x1处取得极值 (1)求函数f(x)的解析式.

(2)若过点A(1,m)(m2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围. 略解(1)求得f(x)x33x

33x0),因为f'(x)3x23 (2)设切点为M(x0,x02所以切线方程为ym(3x03)(x1),又切线过点M32所以x03x0m(3x03)(x01)32即2x03x0m30因为过点A可作曲线的三条切线,所以关于x0的方程有三个不同的实数根322设g(x0)2x03x0m3则g'(x0)6x06x0由g'(x0)0得x00或x01所以g(x0)在(,0),(1,)上单调递增,在(0,1)上单调递减,故函数g(x0)的极值点为x00,x01g(0)0所以关于x0的方程有三个不同实根的充要条件是解得3m2g(1)0所求的实数m的取值范围是(3,2)总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数. 基础训练：

5.设a为实数,函数f(x)x3x2xa(1)求f(x)的极值

(2)当a在什么范围内取值时,曲线yf(x)与x轴仅有一个交点四. 开放型的问题，求参数的取值范围。 例６．已知f(x)x2c,且f[f(x)]f(x21)。 （1）设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式。

（2）设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在R，使(x)在（,1）上是单调递减函数，且在（1,0）上是单调递增函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

分析：（1）易求c=1,g(x)x42x22

（2）(x)g(x)f(x)＝x4(2)x2(2)，∴(x)2x[2x2(2)] 由题意(x)在（,1）上是单调递减函数，且在（1,0）上是单调递增函数知，

(1)0是极小值，∴由(1)0得4

当4，x(1,0)时，(x)0,∴(x)是单调递增函数；

所以存在4，使原命题成立。 x(,1)时，(x)0,∴(x)是单调递减函数。

在文科数学中,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何意义,用导数求函数的极值及最值,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂,那么,利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解.