我的一堂优质课：一元二次不等式恒成立问题 原创

一元二次不等式恒成立问题

似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识） 无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）

大而化之，步步紧逼 （化，分解讨论的意思）

【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：

似曾相识燕归来 无可奈何花落去

【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！ 【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也可以翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）

那么对于这一类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字） 它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.

好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题. （师板书） 一、典例

例：关于x的不等式m2x2m2x40对一切实数x恒成立，求实数m的取值

2范围.

【师】一拿到这类题，同学们可能都傻眼了，题目中好像什么都没给啊，这个题怎么做啊？大家不用怕，看上面（师示意学生看题目下的“大而化之”四个字），既然它是以大题的形式出现了，那么咱们就用做大题的方法去对付它，“大而化之”，咱们一步步的来分解它.那么大家看这个题它是个什么不等式啊？一元二次不等式吗？（师设下陷阱） 【生】是！（大部分学生说是，只有一小部分说不一定，但声音小，底气不足） 【师】（继续暗示）是吗？你敢肯定么？ 【生】（大部分反应过来）不一定！ 【师】为什么不一定啊？ 【生】因为(m2)的值不定！

【师】（及时插入话）对！它的值不定，那么它的值不定我们该怎么做啊？ 【生】讨论！（因为前几节课都在培育学生具有讨论思想，所以学生能一口答出来）

【师】对，它的值不定我们就要讨论它，这是我们学习数学必备的思想，大家一定要具备这

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个基本素质.下面我们来分类讨论这个不等式的系数m2，看看它的庐山真面目到底是什么. （一）（准备工作）：讨论系数

（师边写边说：那么它的二次项系数分几种情况啊？生回答：两种.师问：是什么啊？生回答：等于零或不等于零两种.师板书并言语：那么我们来讨论这两种情况.）

1当m20即m2时，那么原不等式变成了常数不等式 2当m20时，原不等式是一元二次不等式.

【师】（板完后说）那么这是我们每个人脑海中都要具备最基本的东西，一遇到这类题，我们脑海中立马要想到讨论它的二次项系数，这一步你写出来了，高考时两分就拿到手了. （二）（具体步骤）：分类讨论

1当m20，即m2时，原不等式可化为：

0x20x40

【师】那么这个不等式是不是最终成了40，它是不是无论x取何值时不等式都恒成立成立啊？ 【生】是！

 m2时，不等式恒成立

【师】那么我们来讨论第二步.

2当m20，即m2时，不等式m2x22m2x40是一个一元二次不等

式.

【师】那么我们说解一元二次不等式分四个步骤.第一步是化为标准形式，也就是二次项系数大于零的形式.那么这个不等式好不好化啊？因为我们不知到m2的正负，这样的话就需要讨论，而讨论起来又很麻烦，那么我们怎么做啊？那么大家回忆一下，学习数学最重要的两个思想是什么啊？

【生】分类讨论和数形结合的思想！

【师】对！那么这类题我们用数形结合的思想来做是很容易理解的.那么既然是数形结合，我们就先画出ym2x2m2x4的图像.然后再在图像上找出y0时x的取

2值是什么就可以了.那么它的图像有几种情况啊？无非就有两种.m20或m20. 那么我们就先画出m20，即开口向上时的情况.那么开口向上又分三种情况.那么这个

（0，4）图像又是经过的这个点的，那么我们先抛开这个条件，来根据与x轴交点是两个一

个还是没有的情况做出开口向上时函数的图像.如下图：

【师】那么当m20时，图像就是这三种情况.那么大家看，不等式的对应方程

m2x22m2x40的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无.那么它的判

别式依次是：0、0或0.

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1 （m2)0的图像

（1）m20 0 (2) m20 0 (3) m20 0

【师】好，那么我们把(m2)0的情况也画出来，也是三个图像.

(2) (m2)0的图像

（4）m20 0 (5) m20 0 (6) m20 0

【师】好，到此为止，体力活已经做完了，该做脑力活了.大家观察一下图像，再看一下题目，看哪个图像适合题目的条件啊？（念题目：不等式 m2x22m2x40对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围）.

（到此，基本上所有的同学已经能顺利的指出第6个图像适合题目的要求，老师再做逐个的分析，然后得出结论）

（此时有一部分同学瞌睡，老师观察到这个现象后说道：同学们注意了，关键时刻到了.比如说我们看NBA比赛，火箭队正和湖人队比赛，比赛已经到了第四节了，剩下十几秒的时间了，科比或者姚明再投进去一个球，胜负都出来了，可不要错过精彩啊！生笑，注意力重新集中起来.课堂气氛活跃） 【生】第6个图像满足！

【师】对！第6个图像满足.那么不等式的对应方程

m2x22m2x40

应满足什么条件啊？ 【生】（能迅速回答出来）m20且0！

【师】对！所以立马我们就能得出两个联立的不等式

m20 22(m2)（4m2)(4)0解之得：

2m2

综上所述，当2m2 时，关于x的不等式m2x2m2x40对一切实数

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x恒成立.（师强调：我们第一步做的等于2的那个值一定不要忘记）

【师】好了这道题我们基本上做完了.那么我把原不等式变为m2x22m2x40 （变为）那么哪一个图像满足条件啊？对应方程m2x22m2x40要满足什么条件啊？

【生】（基本上所有的同学都能回出来）第5个！对应方程要满足m20且0. 【师】对！那么我这样变，变为m2x22m2x40，哪一个图像满足条件？对应方程m2x22m2x40应满足什么条件啊？

【生】（争先恐后的回答）第三个！对应方程要满足m20且0 【师】那么变为m2x22m2x40呢？

【生】第2个！对应方程要满足m20且0.

【师】非常好！那么大家在学习的时候要学会总结，学会举一反三.今天的课就讲到这里，谢谢大家！

作者的话：

学生总以为数学很枯燥，很难学.但是我的课堂上学生基本上没有睡觉的，学生基本上都是天天盼着上数学课.

我觉得我的成功之处就在于把幽默的语言加入到教学中去，这样的话，可以不去逼学生，学生也能学好数学.

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