2019北京朝阳高二(上)期末数学

数 学

（考试时间120分钟 满分150分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 若a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是 A. a+c>b+d

B. a-c>b-d

C. ac>bd

D. >

2. 抛物线y²=4x的准线方程为 A. x=1

B. x=-1

C. y=1

D. y=-1

3. 在等比数列{an}中，a1=1,a4=8,则{an}的前5项和是 A. 2

B. 8

C. 15

D. 31

4.在正方形ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB1与BC1所成的角的大小是 A. 60°

B. 75°

C. 90° D. 105°

5. “m>0,n>0,且m≠n”是“方程 =1表示的曲线为椭圆”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 如图，在四棱锥A-BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC,∠CDE=90°，BC=3,CD=DE=2,AD=4. 则点E到平面ABC的距离为 A.

B.

C.

D. 2

若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 7. 已知数列{an}满足an= .

A. (1,2]

B. （2，3）

C. [2,3) D. （1，3）

8. 已知F1,F2是双曲线C: - =1（a>0,b>0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 A.

B.

C. 2

D. +1 9.我国古代数学名著《九章算术》中，有一个问题的算法的前两步为： 第一步：构造数列1，，，，···，，n∈N;①

*

第二部：将数列①的各项乘以n，得到的数列记为a1, a2, a3, a4,···，an, 则a1a2+a2a3+a3a4+···+an-1an= A. n²

B. （n-1）²

C. n（n-1）

D. n（n+1）

10. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是

1 / 3

A. [ , ]

B. [ , ]

C. [ , ]

D. [ , ]

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上。 11. 设命题P: .则P为 12. 双曲线 -y²=1的渐近线的方程为

13. 设数列{an}的前n项和为Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,那么S1, S2, S3, S4,中最小的为 14. 若x>0,y>0,且x+2y=1,则xy的最大值为 15. 已知数列{an}中，a1=1,前n项和Sn=

*

，数列{an}的通项公式为

an（n∈N）,那么a2的值为

16. 已知O是坐标原点，M,N是抛物线y=x²上不同于O的两点，OM⊥ON,有下列四个结论： ① · ≥2; ② + ≥2 ;

③ 直线MN过抛物线y=x²的焦点 ④ O到直线MN的距离小于等于1. 其中，所有正确结论的序号是

三、解答题：本大题共4小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分18分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB, PA⊥AD （I）求证：PA⊥平面ABCD;

（II）已知PA=AD,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

（i）若点F在棱PA上，且PF:FA=2:1,求证：EF∥平面ABCD; （ii）求二面角D-AC-E的余弦值

18. （本小题满分16分） 已知函数f(x)=ax+ax-1（a∈R） （I）当a=1时，求f（x）>0的解集；

（II）对于任意x∈R,不等式f（x）<0恒成立，求a的取值范围； （III）求关于x的不等式f（x）<0的解集。

2 / 3

2

19. （本小题满分18分）

已知椭圆C: + =1（a>b>0）,其右焦点为F（1，0），离心率为

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点F作倾斜角为α的直线L，与椭圆C交于P,Q两点。 （i）当α= 时，求三角形OPQ（O为坐标原点）的面积； （ii）随着α的变化，是猜想 的取值范围，并证明你的猜想.

20. （本小题满分18分）

已知数列{an}的首项为1，若对任意的n∈N,数列{an}满足an+1-3an<2,则称数列{an}具有性质L. （I）判断下面两个数列是否具有性质L； ①1，3，5，7，9，···； ②1，4，16，，256，···；

（II）若{an}是等差数列且具有性质L，其前n项和Sn满足Sn<2n²+2n(n∈N)，求数列{an}的公差d的取值范围； （III）若{an}是公比为正整数的等比数列且具有性质L，设bn= （n∈N），且数列{bn}不具有性质L，求数列{an}的通项公式.

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*

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