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2019北京朝阳高二(上)期末数学

来源:划驼旅游
2019北京朝阳高二(上)期末

数 学

(考试时间120分钟 满分150分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 若a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是 A. a+c>b+d

B. a-c>b-d

C. ac>bd

D. >

2. 抛物线y²=4x的准线方程为 A. x=1

B. x=-1

C. y=1

D. y=-1

3. 在等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则{an}的前5项和是 A. 2

B. 8

C. 15

D. 31

4.在正方形ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB1与BC1所成的角的大小是 A. 60°

B. 75°

C. 90° D. 105°

5. “m>0,n>0,且m≠n”是“方程 =1表示的曲线为椭圆”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 如图,在四棱锥A-BCDE中,AD⊥平面BCDE,底面BCDE为直角梯形,DE∥BC,∠CDE=90°,BC=3,CD=DE=2,AD=4. 则点E到平面ABC的距离为 A.

B.

C.

D. 2

若{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 7. 已知数列{an}满足an= .

A. (1,2]

B. (2,3)

C. [2,3) D. (1,3)

8. 已知F1,F2是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线C上,则双曲线C的离心率为 A.

B.

C. 2

D. +1 9.我国古代数学名著《九章算术》中,有一个问题的算法的前两步为: 第一步:构造数列1,,,,···,,n∈N;①

*

第二部:将数列①的各项乘以n,得到的数列记为a1, a2, a3, a4,···,an, 则a1a2+a2a3+a3a4+···+an-1an= A. n²

B. (n-1)²

C. n(n-1)

D. n(n+1)

10. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为线段AC的中点,点E在线段A1C1上,则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是

1 / 3

A. [ , ]

B. [ , ]

C. [ , ]

D. [ , ]

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,答案写在答题卡上。 11. 设命题P: .则P为 12. 双曲线 -y²=1的渐近线的方程为

13. 设数列{an}的前n项和为Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,那么S1, S2, S3, S4,中最小的为 14. 若x>0,y>0,且x+2y=1,则xy的最大值为 15. 已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=

*

,数列{an}的通项公式为

an(n∈N),那么a2的值为

16. 已知O是坐标原点,M,N是抛物线y=x²上不同于O的两点,OM⊥ON,有下列四个结论: ① · ≥2; ② + ≥2 ;

③ 直线MN过抛物线y=x²的焦点 ④ O到直线MN的距离小于等于1. 其中,所有正确结论的序号是

三、解答题:本大题共4小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分18分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥AB, PA⊥AD (I)求证:PA⊥平面ABCD;

(II)已知PA=AD,点E在PD上,且PE:ED=2:1.

(i)若点F在棱PA上,且PF:FA=2:1,求证:EF∥平面ABCD; (ii)求二面角D-AC-E的余弦值

18. (本小题满分16分) 已知函数f(x)=ax+ax-1(a∈R) (I)当a=1时,求f(x)>0的解集;

(II)对于任意x∈R,不等式f(x)<0恒成立,求a的取值范围; (III)求关于x的不等式f(x)<0的解集。

2 / 3

2

19. (本小题满分18分)

已知椭圆C: + =1(a>b>0),其右焦点为F(1,0),离心率为

(I)求椭圆C的方程;

(II)过点F作倾斜角为α的直线L,与椭圆C交于P,Q两点。 (i)当α= 时,求三角形OPQ(O为坐标原点)的面积; (ii)随着α的变化,是猜想 的取值范围,并证明你的猜想.

20. (本小题满分18分)

已知数列{an}的首项为1,若对任意的n∈N,数列{an}满足an+1-3an<2,则称数列{an}具有性质L. (I)判断下面两个数列是否具有性质L; ①1,3,5,7,9,···; ②1,4,16,,256,···;

(II)若{an}是等差数列且具有性质L,其前n项和Sn满足Sn<2n²+2n(n∈N),求数列{an}的公差d的取值范围; (III)若{an}是公比为正整数的等比数列且具有性质L,设bn= (n∈N),且数列{bn}不具有性质L,求数列{an}的通项公式.

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